La récurrence : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

✏️Exercices

Terminale • Lycée

La récurrence

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le raisonnement par récurrence avec des exercices de maths en terminale corrigés portant sur l’initialisation et l’hérédité d’une propriété que l’on considère vraie au rang n et que l’on démontre qu’elle reste vraie au rang n+1.Ces exercices sont entièrement corrigés avec les réponses qui sont détaillées et les fichiers peuvent être téléchargés gratuitement au format PDF.

Exercice 1

Soit $(U_n) \,$ la suite définie par

$\{{U_0=2\atop \forall n \in\,\mathbb{N}\,\,U_{n+1}=\sqrt{U_n+2}} \,.$

Démontrer par récurrence que :

$\red\fbox{\forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_n\le2 }\,$

Exercice 2

Soit $(U_n) \,.$ la suite définie par

$\{{U_0=2\atop \forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_{n+1}=2U_n-3} \,.$

Démontrer par récurrence que :

$\red\fbox{\forall n \in\,\mathbb{N}\,,\,U_n=3-2^n }\,.$

Exercice 3

On pose :

$\forall n \in\,\mathbb{N^*}\,,\,S_n=1^2+2^2+3^2+....+n^2=\sum_{k=1}^n k^2 \,.$

a. Calculer $S_1\,S_2\,,S_3\,,S_4 \,.$

b. Exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $S_n$ .

c. Démontrer par récurrence que :

$\red\fbox{ \forall n \in\,\mathbb{N^*}\,\,S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} }\,.$

Exercice 4 – Démonstration avec deux variables

On note $Raisonnement par récurrence$ et $y$ deux réels .

1. Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ alors $x^{n+1}-y^{n+1}=y(x^n-y^n)+(x-y)x^n$ .

2. Exprimer $x^ky^{n-k}$ en fonction de $x$ , si k = n .

3. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ alors $x^n-y^n=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}$ .

Exercice 5 – Raisonnement et démonstration de propriétés

Démontrer les propriétés ci-dessous :

1. Si $a\in \mathbb{Q}$ et $x\notin \mathbb{Q}$ alors $a+x\notin \mathbb{Q}$ .

2. Si $a\in \mathbb{Q}^*$ et $x\notin \mathbb{Q}$ alors $a\times x\notin \mathbb{Q}$ .

Exercice 6 – Démontrer par récurrence une somme

On note $x$ un réel différent de 1.

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ .

Exercice 7 – Calcul d’une somme

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ ,

on a $\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk=\frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$ .

Exercice 8 – Raisonnement par récurrence et puissance

On note x un réel positif .

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ , on a $(1+x)^n\geq 1+nx$ .

Exercice 9 – Raisonnement par contraposée

On note $n\in \mathbb{N}^*$ .

Le but de cet exercice est de montrer par contraposée la propriété suivante :

Si l’entier $n^2-1$ n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .

1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .

2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme $n=4k+r$

avec $k \in \mathbb{N}$ et $r \in \left \{1,2,3 \right \}$ ( à justifier).Prouver la contraposée .

3. Que peut-on en déduire ?

Exercice 10 – Somme des cubes

1. Montrer que $\forall n\in \mathbb{N}^*\,,\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

2. En déduire la valeur de $A=1^3+2^3+3^3+4^3+...+10^3$

Multiples

Montrer que, pour tout entier $n\geq 0$ , $n^3-n$ est un multiple de 3 .

Exercice 11 – Montrer que c’est un multiple

1. Développer, réduire et ordonner $(n+1)^5$ .

2. En déduire que pour tout entier $n\geq 0$ , $n^5-n$ est un multiple de 5 .

Exercice 12 – Démonstration par récurrence

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n,on a :

$\sum_{k=1}^{n}k^3=\left ( \sum_{k=1}^{n} k\right )^2$ .

Rappel : $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

Exercice 13 :

Voici les quatre premiers nombres triangulaires :

1. Représenter $T_5$ et $T_6$ .
2.a) Pour tout entier naturel $n \geq 1$ , exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ .
b) Conjecturer l’expression de $2T_n$ , puis de $T_n$ en fonction de n.
c) Valider cette conjecture par récurrence.

Exercice 14 :

Sur cette figure :

$OA_0=1$
$A_0A_1 =A_1A_2=...=2;$
les triangles $OA_0A_1$ , $OA_1A_2$ , … sont rectangles.

exercices raisonnement par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $OA_n=\sqrt{4n+1}$ .

Exercice 15 :

Voici deux fonctions écrites en langage Python par des élèves.

a) Décrire les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ dont ces fonctions permettent de calculer les termes.
b) Les deux élèves remarquent que les valeurs affichées pour un même entier naturel n saisi sont identiques pour les deux programmes.
Émettre alors une conjecture et la démontrer.

Exercice 16 :

Le programme ci-dessous écrit en langage Python permet de comparer les premiers termes de deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n \geq 1$ .

a) Décrire les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ .
b) Saisir et exécuter ce programme pour n = 15.
c) Émettre alors une conjecture et la démontrer.
d) Comment expliquer les résultats obtenus pour n = 30 ?

Exercice 17:

$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=4+5u_n$ .
Manon a réalisé la feuille de calcul ci-dessous.