Logarithmes : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

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Terminale • Lycée

Logarithmes

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Les fonctions logarithmes à travers des exercices de maths en terminale corrigés. L’élève devra connaître la définition d’une fonction logarithme ainsi que toutes les règles et les propriétés de calculs. Savoir calculer une limite aux bornes de son ensemble de définition puis, tracer sa courbe après avoir étudier sa fonction dérivée.

Exercice 1

• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 :
$logarithmes$
• Exprimer en fonction de ln 2 et ln 5 :
$ln\,250\,;\,ln200\,;\,ln1,25\,;ln\,10^{-4}\,.$

Exercice 2
Simplifier les expressions suivantes :
$a=ln\,e^2+ln\sqrt{e};b=ln(e\sqrt{e});c=lne+ln(\frac{1}{e});d=lne^2-lne^{-2}\,.$

Exercice 3
Soit n un entier naturel non nul et a un nombre réel strictement positif.
Calculer la somme :
$S=lna^n+lna^{n-1}+...+lna+ln1+ln\frac{1}{a}+...+ln\frac{1}{a^{n-1}}+ln\frac{1}{a^n}\,.$

Exercice 4
Etudier les limites suivantes :
a. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+x^2) \,.$
b. $\lim_{x\to +\infty} ln(1+\frac{1}{x^2}) \,.$
c. $\lim_{x\to -3} ln(3-2x-x^2) \,.$
d. $\lim_{x\to -1} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$
d. $\lim_{x\to +\infty} ln(\frac{2x+3}{x+1}) \,.$
e. $\lim_{x\to 0} ln(cosx) \,.$
f. $\lim_{x\to +\infty} \frac{xlnx}{x+1} \,.$

Exercice 5 : recherche d’asymptotes.
Indiquer l’ensemble de définition de la fonction f, puis étudier les limites aux bornes de cet ensemble.
Préciser les asymptotes à la courbe représentant f.
$f(x)=\frac{3lnx+1}{x} \,.$

Exercice 6
Résoudre dans $\mathbb{R} \,.$ chacune des équations suivantes :
a. $lnx=2 \,.$
b. $ln\frac{1}{x}=3 \,.$
c. $lnx^3=27 \,.$
d. $ln(2x+1)=ln(-2x-3)\,.$
e. $(lnx)^2-2lnx-3=0 \,.$

Exercice 7
Résoudre le système suivant :
$\{{x+y=2\atop lnx-lny=ln3} \,.$

Exercice 8
Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur l’ensemble $D \,.$
a. $f(x)=ln(-x)\,\,D=]-\infty\,;\,0[ \,.$
b. $f(x)=ln(\sqrt{x})\,\,D=]0\,;\,+\infty\,[ \,.$
c. $f(x)=ln(\frac{x+1}{x-1})\,\,D=]-\infty\,;\,-1[ \,.$

Exercice 9 – Equation du troisième degré dans le corps des complexes
On considère dans l’ensemble des complexes le polynôme :
P(z) = z³ + (2i-5)z² +7(1-i)z -2 +6i
1- Sachant que a étant un réel, on a P(a) = 0. Déterminez a.
2- Trouvez toutes les solutions de P(z) =0. En déduire une factorisation de P(z).

Exercice 10 – Inéquations
Résoudre les inéquations suivantes :
$1.\,lnx>2\\2.\,2lnx-1<5\\3.\,ln(2x-1)-ln(2x+1)\leq ln(x+2)$

Exercice 11 – Equations et logarithmes népériens
$1.\,ln(4x^2-1)=ln(x+2)\\2.\,ln(2x-1)+ln(2x+1)=ln(x+2)\\3.\,xlnx=0\\4.\,ln(x-1)-ln(3x+4)=ln(5x)\\5.\,(lnx)^2+lnx-2=0$

Exercice 12 – Résoudre des équations logarithmiques
$1.\,lnx=3\\2.\,ln(3x)=0\\3.\,ln(2x-1)=3\\4.\,ln\left ( \frac{1}{x-1}\right )=1\\5.\,ln(x^2)=4$

Exercice 13 – Simplifier des logarithmes népériens
Simplifier :
$a=ln(e^5)\\b=ln(e^2\sqrt{e})\\c=ln\left ( \frac{\sqrt{e}}{4} \right )\\d=ln\left ( \frac{1}{e^2} \right )^3\\e=\frac{1}{3}lne^{27}$

Exercice 14 – Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3
$a=ln18\\b=ln\frac{1}{8}\\c=ln(\frac{\sqrt{3}}{2})\\d=ln(2e^3)\\e=4ln(\sqrt{6})-6ln(12)$

Exercice 15 -Logarithme népérien (ln)
Résoudre les équations et inéquations suivantes :

$ln(3-5x)=0$
$2ln(x-4)=lnx-2ln2$
$ln(x+4)+ln(x+1)=ln6$
$ln(\left |x+4 \right |)+ln(\left |x+1 \right |)=ln6$
$ln^3x+2ln^2x-lnx-2=0$
$ln\left ( \frac{2x-3}{5x+1} \right )<0$
$lnx-\frac{1}{lnx}<\frac{3}{2}$

Exercice 16 -Prise d’initiative et nombres complexes
Lequel de ces deux nombres est le plus grand ?
$e^{\pi}$ ou $\pi^{e}$ .

Indication :

On peut faire une conjecture à la calculatrice mais on donnera une vraie démonstration.

Exercice 17 -Signe d’une fonction
soit g définie sur ]0;+infini[ par g(x)= 2x²+1-ln(x)
quel est le signe de g pour x>0?.

Exercice 18 -Dérivée
Soit g la fonction définie sur ]0;+ $\infty$ [ par: g(x) = 1-x²– ln(x)
1.calculer la dérivée de la fonction g et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction g
2. Calculer g(1). En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle ]0;+ $+\infty$ [ .

Exercice 19 -Logarithme népérien et simplifications
1) simplifier $\frac{lne}{ln e^2-ln(\frac{1}{e})}$
2) Déterminer le plus petit entier n tel que 1,05ⁿ $\geq$ 1,5
3) Chaque année, la population d’une ville diminue de 3%. Au bout de combien d’année, la population de cette ville aura-t-elle diminué de plus de 30%.

Exercice 20 – Bac et logarithmes
Partie A :
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-xlnx$ .
1.Déterminer les limites de la fonction g en 0 et $+\infty$ .
2.Montrer que g est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ et que $g'(x)=-lnx$ .
3.Dresser le tableau de variations de la fonction g.
Partie B :
soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $u_n=\frac{e^n}{n^n}$ .
1.Conjecturer, à l’aide de la calculatrice ;
a. le sens de variation de la suite $(u_n)$ ;
b. la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ .
2.Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ par $v_n=ln(u_n)$ .
a. Montrer que $v_n=n-nln(n)$ .
b. En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$ .
3.Montrer que la suite $(u_n)$ est bornée.
4.Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 21 – comparaison entre $x^2$ et $2^x$
Soit f la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(2^x)-ln(x^2)$ .
1. Démontrer que $f(x)=xln2-2lnx$ .
2. Calculer f(2) et f(4).
3. Calculer la dérivée f ‘ de f.

En déduire les variations de f.
4. A l’aide des questions 2 et 3, préciser le signe de f.
5. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a $2^n\geq n^2$ .

Exercice 22 :

Résoudre les équations suivantes :

$a)e^x=1\\b)e^x=4\\c)e^{2x}=2\\d)4e^{-x}-3=12\\e)e^{2x-1}=2\\f)e^{-x}=-5$

Exercice 23 :

Résoudre les équations suivantes :

$a)lnx=3\\b)ln(2x)=0\\c)2lnx-1=6\\d)ln(2x-1)=3\\e)ln\left ( \frac{1}{x-1}\right )=1 \\f)ln(x^2)=4$

Exercice 24 :

Simplifier l’écriture des nombres suivants :

$a=ln3+ln\frac{1}{3}\\b=ln\frac{1}{16}\\c=\frac{1}{2}ln\sqrt{2}$

Exercice 25 :

Après avoir préciser l’ensemble de définition des solutions de l’équation, la résoudre.

$a)ln(1-x)+ln(1+x)=2(ln2-ln5)\\b)lnx+ln(x-3)=ln4\\c)ln(x(x-3))=ln4$

Exercice 26 :
Soit la fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2x-1+ln\left ( \frac{x}{x+1} \right )$ .
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\left ( O;\vec{i},\vec{j} \right )$ du plan (unité graphique : 2 cm).
1. Étudier la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Étudier la limite de f en $+\infty$ .
b. Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation $y=2x-1$ est une asymptote à $C_f$ en $+\infty$ .
Étudier la position de $C_f$ par rapport à $\Delta$ .
3. Étudier les variations de f. Dresser son tableau de variations.
4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $]0;+\infty[$ et déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$ .
5. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $C_f$ .

Exercice 27 :

Utile aussi pour le bac… en Chimie !
On sait, en Chimie, que le pH d’une solution permet d’exprimer son caractère acide ou basique.
Ce nombre est un décimal compris entre 1 et 14 de sorte que :
● Si pH < 7, alors la solution est dite acide.
● Si pH > 7, alors la solution est dite basique.
● Si pH = 7, elle est dite neutre.

On sait alors que le pH est associé à la relation $pH = - log[H_3O^{+}]$ où $[H_3O^+]$ est la concentration en ions $H_3O^+$ , exprimée en mol/L.

1. Une solution possède une concentration en ions $H_3O^+$ égale à $5\times 10^{-9}$ .
Quel est son pH ? Que peut-on dire d’une solution dont la concentration en ions $H_3O^+$ est
égale à 0,1 ?
2. Quelle est la concentration en ions $H_3O^+$ d’une solution neutre ?
3. Si l’on augmente la concentration en ions $H_3O^+$ dans une solution, diminue-t-on ou augmente-t-on le pH de cette solution ?
4. Que faut-il faire à une solution pour incrémenter ou décrémenter son pH ?

Vocabulaire : Incrémenter, c’est ajouter 1. Donc décrémenter, c’est… ?

Exercice 28 :
f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=x+2-ln(1+e^{2x})$ .
C est sa courbe dans un repère orthogonal $\left ( O;\vec{i},\vec{j} \right )$ .

1. a. Déterminer la limite de $ln(1+e^{2x})$ en $-\infty$ .
b. En déduire l’existence d’une asymptote oblique $\Delta$ dont on précisera une équation.
c. Montrer que pour tout réel x :
$f(x)=2-x-ln(1+e^{-2x})$
d. Déterminer la limite de f en $+\infty$ , ainsi que l’existence d’une seconde asymptote oblique
$\Delta'$ .
2. Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour C.
3. Résoudre l’inéquation $1-e^{2x} \geq 0$ .
4. Étudier les variations de la fonction f.
5. Représenter $\Delta$ , $\Delta'$ et C, après avoir indiqué la position de $\Delta$ et C.

Exercice 29 :

La température $\theta$ (en °C) d’un liquide peut être modélisée en fonction du temps t, en min, par :
$\theta (t) = 25 -10e^{0,1t}$
Donner les réponses arrondies au dixième.
a) Au bout de combien de temps la température atteindra-t-elle 12,5 °C ?
b) Au bout de combien de temps la température atteindra-t-elle 0°C ?

Exercice 30 :

A l’aide de la calculatrice, on a affiché la courbe représentative de la fonction f définie sur $]0;+\infty[$ par
$f(x)=(ln(x) -1)(3 -ln(x))$

a) Déterminer l’abscisse de chacun des points d’intersection de cette courbe avec l’axe des abscisses.
b) Étudier le signe de la fonction f sur $]0;+\infty[$ .

Exercice 31 :

Résoudre les équations suivantes :

a) $a)ln(9x)+ln(x)=25\\b)ln(x+4)+ln(2x-1)=ln(x+10)\\c)2ln(x)=ln(x+4)+ln(2x)\\d)ln(x^2)=ln(2x^2+8x)$

$e)ln(x-2)-ln(x-3)=1\\f)ln(2x-3)-2ln(x+1)=ln(x-3)\\g)ln(x)-ln(x+1)=ln(x-1)\\h)ln(5-x)-ln3+ln(x-1)=0$

Exercice 32 :

f est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par :
$f(x)=(ln(x))^2-ln(x)$

1.Étudier la limite de f en 0.
2.a) Vérifier que l’étude de la limite de f en $+\infty$ conduit à une forme indéterminée.
b) Pour tout $x > 0, f(x) = ln(x) (ln(x)-1)$
En déduire la limite de f en $+\infty$ .

Exercice 33 :

g est la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par :
$g(x)=\frac{3 + ln(x)}{ln(x)}$
a) Quel est le signe de ln(x) lorsque $x> 1$ ?
b) En déduire la limite de g en 1.
2. Expliquer pourquoi pour tout réel $x > 1, g(x)=\frac{3}{ln(x)}+1$

En déduire la limite de g en $+\infty$ .

Exercice 34 :

Dans un repère orthonormé, A et B sont deux points de la courbe représentative de la
fonction $ln$ d’abscisses respectives a et b.
M est le milieu du segment [AB] et N est le projeté orthogonal de M sur l’axe des
abscisses.
Démontrer que $MN=ln(\sqrt{ab})$ .

Exercice 35 :

a désigne un nombre réel strictement positif. On note A le point d’abscisse a
de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormé $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
P est le projeté orthogonal du point A sur l’axe des ordonnées.
a) Q est le point d’intersection de la tangente T au point A à la courbe $\Gamma$ ‘ et de l’axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ.
b) En déduire une construction simple de la tangente T.

Exercice 36 :

1.f est une fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f (x) = ax + (bx + c)ln(x)$
où a, b, c sont des réels.
La courbe représentative $\varphi$ de f est donnée ci-dessous.
Utiliser les informations données sur le graphique pour déterminer a, b, c.

2. g est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x) = 2x+ (1- 3x)ln(x).$

a) Étudier la limite de g en 0, puis en $+\infty$ .
b) Déterminer la fonction dérivée de g et étudier son signe en remarquant que $\frac{1-x}{x}$
et $-3ln(x)$ ont le même signe sur ]0 ; 1 [et sur $]1;+\infty[$ .
c) Dresser le tableau de variations de g.

Exercice 37 :

Le gain, en décibel (dB), d’une antenne parabolique de 1 m de diamètre peut se calculer par la formule :
G = 20 x 10 90
où f est la fréquence d’utilisation, en hertz (Hz).
a) Calculer le gain de l’antenne pour une fréquence d’utilisation de $9 \times 10^9$ Hz.

Arrondir au centième.
b) A partir de quelle fréquence peut-on utiliser une telle antenne sachant que le gain doit être supérieur
ou égal à 20 dB ? Arrondir à $10^7$ Hz.