Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.

La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.

Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur telles que pour tout réel x :

.

L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.

S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que et alors f ne s’annule pas sur I.

Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que et .

C’est la fonction exponentielle, notée .

La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :

Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)

f’(0) = 1

Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :

On pose :

Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

La fonction x 1+x est l’approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

On admet que ce théorème se généralise et qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.