Equations et inéquations du second degré : cours en 1ère en PDF.

Les équations et inéquations du second degré dans un cours de maths en 1ère où nous aborderons la résolution avec le discriminant delta et la factorisation d’un polynôme du second de gré ainsi que l’étude de son signe. Dans cette leçon en première, nous étudierons l’interprétation graphique.

Dans tout ce chapitre, nous considérerons a un réel non nul.

I. Résolution de l’équation du second degré :

1. Définition et vocabulaire :

Définition :

Une équation du second degré, à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ , où $a,\,b,\,c$ sont trois réels donnés avec $a\neq0$ .
Résoudre l’équation $ax^2+bx+c = 0$ , c’est trouver tous les nombres $p$ tels que $ap^2+bp+c=0$ .
Un tel nombre p est dit solution ou encore racine de l’équation.

2. Résolution de l’équation du second degré :

Posons f(x) = ax²+bx+c avec $a\neq0$ .

2.1. Ecriture de f(x) sous forme canonique :

Définition :

Puisque $a\neq0$ , $f()=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$ ou $x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}$

donc $f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$ .

Cette dernière écriture est appelée forme canonique de f.

2.2. Résolution de l’équation ax²+bx+c=0 :

Propriété :

On pose $\Delta =b^2-4ac$ ainsi $f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta }{4a^2}]$

Premier cas :

Si $\Delta <0$ alors $\frac{\Delta }{4a^2}<0$ .

Le nombre entre crochets est strictement positif donc l’équation f(x)=0 n’a pas de solution.

Second cas :

Si $\Delta =0$ alors $f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2$ .

Puisque $a\neq 0$ , l’équation f(x)=0 a une solution et une seule :

$x=-\frac{b}{2a}$ .

Troisième cas :

Si $\Delta >0$ alors $\Delta =(\sqrt{\Delta })^2$ et :

$f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta }{4a^2}] \\f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{\Delta} }{2a})^2] \\f(x)=a(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta} }{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta} }{2a})$

$f(x)=a(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}-)$

Si l’on pose :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}$ alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Donc puisque $a\neq 0$ , l’équation f(x)=0 a deux solutions distinctes $x_1$ et $x_2$ .

Définition :

Le nombre $b^2-4ac$ est appelé discriminant de l’équation du second degré $ax^2+bx+c$ ou du trinôme $ax^2+bx+c$ .

On le note $\Delta$ ( lire « delta »).

Théorème :

a. Lorsque $\Delta <0$ , l’équation n’a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

b. Lorsque $\Delta =0$ , l’équation a une racine double : $x_1=\frac{-b }{2a}$ .

c. Lorsque $\Delta >0$ , l’équation a deux solutions :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}$ .

II. Factorisation et signe du trinôme :

1. Factorisation du trinôme :

Nous avons vu, au cours de la démonstration du théorème 1 que si

$\Delta >0$ alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Théorème 2 : factorisation du trinôme.

Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions $x_1$ et $x_2$ ( dans le cas $\Delta >0$ ) alors,

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

2. Signe du trinôme :

Théorème

Lorsque $\Delta <0$ , $f(x)$ est toujours du signe de a.
Lorsque $\Delta =0$ , $f(x)$ est du signe de a
Lorsque $\Delta <0$ , $f(x)$ est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.

Application :

Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine le signe du trinôme associé.

III. Représentations graphiques des fonctions trinômes :

Définition :

La courbe de la fonction $f : x \mapsto ax^2+bx+c$ est une parabole. Cette parabole est tournée vers le haut lorsque $a>0$ et tournée vers le bas lorsque $a<0$ .