Dérivée d'une fonction : exercices en terminale corrigés en PDF.

La dérivée d’une fonction à travers des exercices de maths en terminale corrigés.Tous ces énoncés disposent d’une correction détaillée et peuvent être imprimés au format PDF.

Exercice 1 – Etude de fonctions numériques

Etudier la fonction f définie sur $D$

a. $f(x)=-5x^2+10x+4\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$
b. $f(x)=\frac{3x+2}{x-5}\,\,D=\mathbb{R}\{5}\,\,.$
c. $f(x)=\frac{-7}{x+2}\,\,D=\mathbb{R}\{-2}\,\,.$
d. $f(x)=\sqrt{-2x+5}\,\,D=]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]\,\,.$
e. $f(x)=\,tan(4x)\,\,D=]\frac{-\pi}{8}\,;\,\frac{\pi}{8}[\,\,.$

Exercice 2 :

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante sur ] $-\infty$ ; -1] et sur [0 ; $+\infty$ [ et strictement décroissante sur [-1;0].
De plus, $f(-3)=0,\,\,f(-1)=3\,\,f(0)=1\,.$
Déterminer le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1\,.$

Exercice 3 :

Etudier la fonction f définie sur $D$ .

a. $f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2x+1\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$
b. $f(x)=-\frac{3x+1}{x^2-x+1}\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$
b. $f(x)=(1-sin x)sinx\,\,D=\mathbb{R}\,\,.$

Exercice 4 :

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a. $f(x)=(x^2-5)^4$ .

b. $f(x)=\sqrt{x^2+5x-6}$ .

c. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ .

d. $f(x)=(3x+6)^{-2}$ .

e. $f(x)=\sqrt{3+cos^2 x}$ .

f. $f(x)=sin(3x).cos(2x)$ .

g. $f(x)=\frac{sin(3x)}{x}$ .

h. $f(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$ .

Exercice 5 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction $f_n$ définie sur $]-1;+\infty[$ par :

• pour n=0, $f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}$

• pour $n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}$

On désignera par (Cn) la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de $f_0$ aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de $f_0$ et construire $C_0$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a. $f'_n$ désignantla fonction dérivée de $f_n$ , montrer que :

$f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}$

b. Etudier le sens de variation des fonctions $f_1$ et $f_2$ puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer $C_1$ et $C_2$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Exercice 6 – Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

Considérons la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^2sin(\frac{1}{x}) \,x\neq0$ et $f(0)=0.$

Montrer que :

1. f est continue en 0.

2. f est dérivable en 0.

3. f ‘ n’est pas continue en 0.

Exercice 7 – Dérivation d’une composée de fonctions

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I).

Démontrer que la fonction $vou$ est dérivable sur I et que pour tout x de I :

$(vou)'(x)=u'(x)v'[u(x)]$ .

Exercice 8 – Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur $\mathbb{R}$

Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et préciser leur fonction dérivée.

On rappelle que : $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos(h)-1}{h}=0$ et $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(h)}{h}=0$ .

Exercice 9 – Les fonctions bijectives

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x}{1+\left |x \right |}$ .

1.Démontrer que f est bornée sur $\mathbb{R}$ .

2.Etudier la parité de f.

3.Etudier la dérivabilité de f en 0.

4.Démontrer que f définit une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1;1[$ .

Exercice 10 – Accroissement moyen

1.On se propose d’étudier la limite en $\frac{\pi}{2}$ de la fonction f définie par : $f(x)=\frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}$ avec $x\neq\frac{\pi}{2}$ .

Vérifier que l’on est en présence d’une forme indéterminée.

En considérant l’accroissement moyen de la fonction cosinus en $\frac{\pi}{2}$ , déterminer la limite ci-dessus.

2.Par une méthode analogue, étudier la limite de f en a dans les cas suivants :

$f(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\,en\,a=0$

$f(x)=\frac{tan{x}-1}{x-\frac{\pi}{4}}\,en\,a=\frac{\pi}{4}$

Exercice 11 – Résolution d’une équation

Démontrer que l’équation $x^4+x^3-x+1=0$ n’a pas de solution sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 12 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie pour $x\in\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \}$ par $f(x)=x+3+\frac{9}{x-1}$ .

On désigne par Cf sa représentation dans un repère.

1.Déterminer les limites de f en $-\infty;+\infty;1^-;1^+$ .

2.Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation y=x+3 est une asymptote oblique à Cf en $-\infty\,et+\infty$ .

3.Calculer la fonction dérivée f’ .

Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}-\left \{ 1 \right \}$ : $f'(x)=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}$ .

4.En déduire le tableau de variations de la fonction f.

5.Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse $x_0=0$ .

Exercice 13 – Dérivation

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xsin(x)+cos(x)$ .

On se propose d’étudier cette fonction sur $[0;2\pi]$ .

1.Calculer la dérivée f’.

2.En déduire le tableau de variation de f sur $[0;2\pi]$ .

3.Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}]$ .

4.Démontrer que: $\frac{5\pi}{6}<\alpha <\pi$ .

Exercice 14 – Détermination d’une fonction

On considère une fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ .

On note C sa représentation graphique dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

On sait que la courbe C passe par le point A ( 0;1) et qu’elle admet une tangente parallèle à (Ox) au point d’abscisse 1.

On sait que f ‘ (0)= – 6.

Déterminer les coefficients a, b et c.

Exercice 15 – Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

$f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}$
$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}$
$f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}$
$f(x)=(x^3-2x+1)^3$
$f(x)= \sqrt{1-5x^2}$
$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}$

Exercice 16 – Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et $\theta$ tels que pour tout x de $\mathbb{R}$ :

$acosx+bsinx=Rcos(x-\theta )$ .

Application :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ , l’équation $cosx+sinx=1$ .

Exercice 17 -Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Exercice 18 -Théorème de bijection

Démontrer que l’équation $x^4+x^3-x+1=0$ n’a pas de solution sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 19 -Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors $\frac{1}{g}$ est dérivable en a.

Exercice 20 – Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x$ .

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$ .La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation $y=-2x-\frac{1}{2}$ est asymptote oblique à Cf en $-\infty$ .

Exercice 21 -Dérivée et dérivation

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a. $f(x)=(x^2-5)^4$ .

b. $f(x)=\sqrt{x^2+5x-6}$ .

c. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ .

d. $f(x)=(3x+6)^{-2}$ .

e. $f(x)=\sqrt{3+cos^2 x}$ .

f. $f(x)=sin(3x).cos(2x)$ .

g. $f(x)=\frac{sin(3x)}{x}$ .

h. $f(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$ .

Exercice 22 :

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction $f_n$ définie sur $]-1;+\infty[$ par :

• pour n=0, $f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}$

• pour $n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}$

On désignera par (Cn) la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de $f_0$ aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de $f_0$ et construire $C_0$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a. $f'_n$ désignant la fonction dérivée de $f_n$ , montrer que :

$f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}$

b. Etudier le sens de variation des fonctions $f_1$ et $f_2$ puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer $C_1$ et $C_2$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Exercice 23 – Limite et dérivée

Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.

a. $\lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5)$ .

b. $\lim_{x\to +\infty} (2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2})$ .

c. $\lim_{x\to +\infty} (\frac{6x-1}{2x+5})$ .

d. $\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3})$ .

e. $\lim_{x\to \pi} (\frac{sinx}{x})$ .

f. $\lim_{x\to -3} (\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3})$ .

Exercice 24 – asymptotes

Pour chacune des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .

a. $f(x)=\frac{2x-4}{x-3}$ .