Exercices de maths Terminale : Produit scalaire dans l'espace et équations de plans

Exercice 1Produit scalaire

\(\vec{u}(1\,;\,-2\,;\,3)\), \(\vec{v}(2\,;\,1\,;\,0)\), \(\vec{w}(4\,;\,2\,;\,-1)\).

1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}\), \(\vec{v}\cdot\vec{w}\).
2. Quels vecteurs sont orthogonaux ?
3. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et l'angle entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

Exercice 2Orthogonalité de droites

1. Les droites de vecteurs directeurs \((1\,;\,2\,;\,-1)\) et \((3\,;\,-1\,;\,1)\) sont-elles orthogonales ?
2. Dans le cube ABCDEFGH, montrer que \((AG) \perp (BD)\).

Exercice 3Vecteur normal

1. Donner un vecteur normal au plan \(2x - y + 3z - 5 = 0\).
2. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par A\((1\,;\,2\,;\,-1)\) de vecteur normal \(\vec{n}(3\,;\,-1\,;\,2)\).
3. Équation du plan passant par B\((0\,;\,1\,;\,1)\) et perpendiculaire à la droite de vecteur directeur \((1\,;\,1\,;\,1)\).

Exercice 4Plan par trois points

A\((1\,;\,0\,;\,0)\), B\((0\,;\,2\,;\,0)\), C\((0\,;\,0\,;\,3)\).

1. Déterminer un vecteur normal \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) à (ABC) (orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)).
2. Équation cartésienne de (ABC).

Exercice 5Positions relatives de plans

\(\mathcal{P}_1 : x - 2y + z = 3\), \(\mathcal{P}_2 : 2x - 4y + 2z = 1\), \(\mathcal{P}_3 : x + y - z = 0\).

1. \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) sont-ils parallèles ? confondus ?
2. \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_3\) sont-ils perpendiculaires ?
3. Représentation paramétrique de \(\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_3\).

Exercice 6Droite et plan

\(\mathcal{P} : x + 2y - z + 1 = 0\) et \(d : (x, y, z) = (1 + 2t\,;\,-t\,;\,3 + t)\).

1. \(d\) est-elle parallèle à \(\mathcal{P}\) ? orthogonale ?
2. Déterminer \(d \cap \mathcal{P}\).

Exercice 7Projeté orthogonal

\(\mathcal{P} : 2x - y + 2z - 3 = 0\) et A\((1\,;\,4\,;\,2)\).

1. Représentation paramétrique de la droite passant par A perpendiculaire à \(\mathcal{P}\).
2. Coordonnées du projeté orthogonal H de A sur \(\mathcal{P}\).
3. Distance de A à \(\mathcal{P}\).

Exercice 8Distance point-droite

\(d : (x, y, z) = (t\,;\,1 + t\,;\,2 - t)\) et A\((3\,;\,0\,;\,1)\).

1. Soit M\((t)\) un point de \(d\). Exprimer \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}\) avec \(\vec{u}\) directeur.
2. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur \(d\).
3. Distance de A à \(d\).

Exercice 9Dans un cube

Cube ABCDEFGH d'arête \(1\), repère \((A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\).

1. Montrer que \(\overrightarrow{AG}\) est normal au plan (BDE).
2. Équation du plan (BDE).
3. Distance de A au plan (BDE).
4. Intersection de \((AG)\) avec (BDE) : en quel point, et quelle fraction de \(AG\) ?

Exercice 10Problème

Tétraèdre OABC avec O origine, A\((3\,;\,0\,;\,0)\), B\((0\,;\,3\,;\,0)\), C\((0\,;\,0\,;\,3)\).

1. Équation du plan (ABC).
2. Distance de O à (ABC).
3. Aire du triangle ABC.
4. Volume du tétraèdre de deux façons.