Exercices de maths Terminale : Algorithmique et Python

Exercice 1Seuil d'une suite

1. Écrire une fonction seuil(A) renvoyant le plus petit \(n\) tel que \(u_n > A\) pour \(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = 1{,}1u_n + 2\).
2. Justifier que le programme se termine.

Exercice 2Somme de termes

1. Écrire une fonction calculant \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}\).
2. Calculer pour \(n = 10, 100, 1000\). Conjecturer la limite.
3. Comparer avec \(\dfrac{\pi^2}{6}\).

Exercice 3Dichotomie

1. Écrire une fonction dichotomie(f, a, b, eps) renvoyant un encadrement de la solution de \(f(x) = 0\) sur \([a\,;\,b]\).
2. L'appliquer à \(f(x) = x^3 - 2\) sur \([1\,;\,2]\) avec \(\varepsilon = 10^{-4}\).

Exercice 4Méthode des rectangles

1. Écrire une fonction rectangles(f, a, b, n) approchant \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
2. Tester avec \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,1]\), \(n = 10, 100, 1000\).
3. Comparer avec la valeur exacte.

Exercice 5Méthode d'Euler

On veut approcher la solution de \(y' = y\), \(y(0) = 1\) sur \([0\,;\,1]\).

1. Écrire l'algorithme d'Euler avec un pas \(h\).
2. Calculer l'approximation de \(y(1)\) pour \(h = 0{,}1\).
3. Comparer avec \(e\).

Exercice 6Simulation binomiale

1. Écrire une fonction binom(n, p) simulant une variable de loi \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\).
2. Simuler \(10\,000\) réalisations de \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)\) et estimer \(P(X = 6)\).
3. Comparer avec la formule.

Exercice 7Loi des grands nombres

1. Écrire un programme calculant la fréquence de « 6 » sur \(n\) lancers pour \(n = 10, 100, \dots, 10^6\).
2. Observer et commenter.

Exercice 8Coefficients binomiaux

1. Écrire une fonction binomial(n, k) avec la relation de Pascal (récursive).
2. Écrire une version itérative avec un triangle de Pascal.
3. Calculer \(\dbinom{30}{15}\).

Exercice 9Marche aléatoire

Un pion part de \(0\) et à chaque étape avance de \(+1\) ou \(-1\) avec probabilité \(\dfrac{1}{2}\).

1. Simuler \(100\) étapes et renvoyer la position finale.
2. Sur \(10\,000\) simulations, estimer \(P(\text{position} = 0)\) et la position moyenne.

Exercice 10Problème

On étudie \(u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)\) avec \(u_0 = 2\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\) avec un programme.
2. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?
3. Écrire un programme donnant le premier \(n\) tel que \(|u_n - \sqrt{2}| < 10^{-10}\).