Exercices de maths Terminale : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans

Exercice 1Coordonnées

A\((1\,;\,2\,;\,-1)\), B\((3\,;\,0\,;\,2)\), C\((-2\,;\,1\,;\,4)\).

1. Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BC}\).
2. Coordonnées du milieu de \([BC]\).
3. Coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 2Colinéarité

1. \(\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3)\) et \(\vec{v}(-4\,;\,2\,;\,-6)\) sont-ils colinéaires ?
2. A\((1\,;\,1\,;\,1)\), B\((3\,;\,2\,;\,0)\), C\((7\,;\,4\,;\,-2)\) sont-ils alignés ?
3. Déterminer \(k\) pour que \((1\,;\,k\,;\,2)\) et \((3\,;\,-6\,;\,6)\) soient colinéaires.

Exercice 3Coplanarité

1. \(\vec{u}(1\,;\,0\,;\,1)\), \(\vec{v}(0\,;\,1\,;\,1)\), \(\vec{w}(1\,;\,1\,;\,2)\) sont-ils coplanaires ?
2. Même question avec \(\vec{w}(1\,;\,1\,;\,3)\).
3. A\((0\,;\,0\,;\,0)\), B\((1\,;\,2\,;\,0)\), C\((0\,;\,1\,;\,1)\), D\((2\,;\,5\,;\,1)\) sont-ils coplanaires ?

Exercice 4Représentation paramétrique

1. Représentation paramétrique de la droite passant par A\((1\,;\,-2\,;\,3)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,1\,;\,-1)\).
2. Représentation paramétrique de \((BC)\) avec B\((0\,;\,1\,;\,4)\), C\((2\,;\,3\,;\,0)\).
3. Le point M\((5\,;\,0\,;\,1)\) appartient-il à la première droite ?

Exercice 5Position de deux droites

\(d_1 : (x, y, z) = (1 + t\,;\,2 - t\,;\,3 + 2t)\), \(d_2 : (x, y, z) = (2s\,;\,1 + s\,;\,-1 + s)\).

1. Sont-elles parallèles ?
2. Sont-elles sécantes ? Si oui, en quel point ?
3. Sinon, que sont-elles ?

Exercice 6Dans un cube

ABCDEFGH est un cube d'arête \(1\), repère \((A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})\).

1. Coordonnées des \(8\) sommets.
2. Coordonnées du centre du cube et du centre de la face EFGH.
3. Montrer que les droites \((AG)\) et \((BH)\) sont sécantes.

Exercice 7Plan défini par trois points

A\((1\,;\,0\,;\,0)\), B\((0\,;\,2\,;\,0)\), C\((0\,;\,0\,;\,3)\).

1. Montrer que A, B, C définissent un plan.
2. Représentation paramétrique du plan (ABC).
3. Le point M\((1\,;\,1\,;\,1)\) est-il dans ce plan ?

Exercice 8Droite et plan

Le plan \(\mathcal{P}\) a pour représentation paramétrique \((x, y, z) = (1 + s + t\,;\,s - t\,;\,2 + s)\) et la droite \(d\) : \((x, y, z) = (3 + k\,;\,1 - k\,;\,k)\).

1. Déterminer l'intersection de \(d\) et \(\mathcal{P}\).

Exercice 9Section d'un cube

Dans le cube ABCDEFGH d'arête \(6\), I milieu de \([EF]\), J milieu de \([FG]\), K sur \([BC]\) avec \(BK = 2\).

1. Coordonnées de I, J, K dans un repère adapté.
2. Construire la section du cube par le plan (IJK) en expliquant les étapes.

Exercice 10Problème

Tétraèdre ABCD avec A\((0\,;\,0\,;\,0)\), B\((4\,;\,0\,;\,0)\), C\((0\,;\,4\,;\,0)\), D\((0\,;\,0\,;\,4)\). I milieu de \([AB]\), J milieu de \([CD]\).

1. Coordonnées de I et J.
2. Montrer que \((IJ)\) et \((BC)\) ne sont pas coplanaires.
3. Le centre de gravité G de BCD : coordonnées. Montrer que A, G et le centre de gravité de ABCD sont alignés.