Exercices de maths Terminale : Sommes de variables aléatoires et concentration

Exercice 1Linéarité de l'espérance

1. \(E(X) = 3\), \(E(Y) = -1\). Calculer \(E(X + Y)\), \(E(2X - 3Y)\), \(E(X + 5)\).
2. On lance deux dés, X et Y les résultats. Calculer \(E(X + Y)\) sans faire la loi de la somme.

Exercice 2Variance d'une somme

X et Y indépendantes, \(V(X) = 4\), \(V(Y) = 9\).

1. Calculer \(V(X + Y)\), \(V(X - Y)\), \(V(3X)\), \(V(2X + Y)\).
2. Calculer \(\sigma(X + Y)\).

Exercice 3Somme de Bernoulli

1. Montrer que si \(X_1, \dots, X_n\) sont des Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\), alors \(S = X_1 + \dots + X_n\) suit \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\).
2. Retrouver \(E(S) = np\) et \(V(S) = np(1 - p)\).

Exercice 4Échantillon

X a pour espérance \(\mu = 50\) et écart-type \(\sigma = 10\). On considère la moyenne \(M_n\) d'un échantillon de taille \(n\).

1. Donner \(E(M_n)\) et \(V(M_n)\).
2. Pour quel \(n\) a-t-on \(\sigma(M_n) \leq 1\) ?

Exercice 5Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

X a pour espérance \(20\) et variance \(16\).

1. Majorer \(P(|X - 20| \geq 8)\).
2. Minorer \(P(12 < X < 28)\).
3. Que donne l'inégalité pour \(\delta = 2\) ? Commenter.

Exercice 6Application binomiale

\(X \sim \mathcal{B}(400\,;\,0{,}5)\).

1. Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
2. Majorer \(P(|X - 200| \geq 40)\) avec Bienaymé-Tchebychev.
3. Comparer avec la valeur donnée par la calculatrice.

Exercice 7Inégalité de concentration

On lance \(n\) fois une pièce équilibrée ; \(F_n\) est la fréquence de pile.

1. Donner \(E(F_n)\) et \(V(F_n)\).
2. Montrer que \(P(|F_n - 0{,}5| \geq 0{,}05) \leq \dfrac{100}{n}\).
3. Pour quel \(n\) cette probabilité est-elle inférieure à \(0{,}01\) ?

Exercice 8Loi des grands nombres

1. Énoncer la loi faible des grands nombres.
2. Un dé est lancé \(n\) fois. Que peut-on dire de la fréquence de 6 quand \(n \to +\infty\) ?
3. Écrire un programme illustrant cette convergence.

Exercice 9Somme de deux dés

X et Y indépendantes de loi uniforme sur \(\{1, \dots, 6\}\).

1. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\).
2. En déduire \(E(X + Y)\), \(V(X + Y)\).
3. Comparer \(V(X + Y)\) et \(V(2X)\). Expliquer la différence.

Exercice 10Problème

Une machine remplit des bouteilles ; le volume suit une loi d'espérance \(75\) cL et d'écart-type \(1{,}5\) cL. On prélève \(n\) bouteilles.

1. Loi de la moyenne \(M_n\) : espérance, variance.
2. Pour \(n = 100\), majorer \(P(|M_n - 75| \geq 0{,}5)\).
3. Quelle taille d'échantillon pour que \(P(|M_n - 75| \geq 0{,}3) \leq 0{,}05\) ?