Exercices de maths Terminale : Loi binomiale

Exercice 1Épreuve de Bernoulli

Pour chaque situation, dire s'il s'agit d'un schéma de Bernoulli et préciser \(n\) et \(p\) :

1. Lancer \(10\) fois un dé et compter les 6.
2. Tirer \(5\) cartes sans remise et compter les as.
3. Interroger \(50\) personnes d'une grande ville sur leur vote.

Exercice 2Calcul de probabilités

\(X \sim \mathcal{B}(8\,;\,0{,}3)\).

1. Calculer \(P(X = 2)\).
2. Calculer \(P(X = 0)\) et \(P(X \geq 1)\).
3. Calculer \(P(X \leq 2)\).

Exercice 3Espérance et variance

1. \(X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}15)\). Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).
2. \(Y \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}4)\) avec \(E(Y) = 12\). Déterminer \(n\) et \(\sigma(Y)\).

Exercice 4Arbre

Un tireur atteint sa cible avec probabilité \(0{,}7\). Il tire \(3\) fois.

1. Arbre pondéré.
2. Loi de X = nombre de tirs réussis.
3. Retrouver \(P(X = 2)\) avec la formule.

Exercice 5QCM

Un QCM de \(12\) questions à \(3\) choix, on répond au hasard. X = nombre de bonnes réponses.

1. Loi de X.
2. \(P(X = 4)\), \(P(X \geq 6)\) (calculatrice).
3. Nombre moyen de bonnes réponses.

Exercice 6Au moins un succès

1. Un composant est défectueux avec probabilité \(0{,}02\). On en prélève \(50\). Probabilité d'au moins un défectueux ?
2. Combien de composants prélever pour que cette probabilité dépasse \(0{,}95\) ?

Exercice 7Intervalle de fluctuation

\(X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)\).

1. Déterminer le plus petit \(a\) tel que \(P(X \leq a) > 0{,}025\).
2. Déterminer le plus petit \(b\) tel que \(P(X \leq b) \geq 0{,}975\).
3. En déduire un intervalle contenant X avec probabilité \(\geq 0{,}95\).

Exercice 8Prise de décision

Un fabricant affirme que \(90\,\%\) de ses ampoules durent plus de \(1\,000\) h. Sur \(200\) ampoules testées, \(168\) durent plus de \(1\,000\) h.

1. Sous l'hypothèse du fabricant, quelle loi suit le nombre X d'ampoules durables ?
2. Calculer \(P(X \leq 168)\).
3. Peut-on douter de l'affirmation au seuil de \(5\,\%\) ?

Exercice 9Algorithme

from random import random
def simul(n, p):
    c = 0
    for k in range(n):
        if random() < p:
            c += 1
    return c

1. Que simule cette fonction ?
2. Écrire un programme estimant \(P(X = 3)\) pour \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)\) sur \(10\,000\) simulations.

Exercice 10Problème

Une compagnie aérienne surbooke : elle vend \(105\) billets pour \(100\) places. Chaque passager se présente avec probabilité \(0{,}93\).

1. Loi du nombre X de passagers présents.
2. Probabilité qu'au moins un passager n'ait pas de place.
3. Combien de billets vendre au maximum pour que cette probabilité reste sous \(0{,}05\) ?