Exercices de maths Terminale : Intégration

Exercice 1Intégrales simples

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x) \,dx\)
2. \(\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x} \,dx\)
3. \(\displaystyle\int_0^1 e^{x} \,dx\)
4. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 + x) \,dx\)
5. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \,dx\)

Exercice 2Avec primitives composées

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^1 e^{-2x} \,dx\)
2. \(\displaystyle\int_0^2 \dfrac{x}{x^2 + 1} \,dx\)
3. \(\displaystyle\int_1^3 \dfrac{2}{(2x - 1)^2} \,dx\)
4. \(\displaystyle\int_0^{1} x(x^2 + 1)^3 \,dx\)

Exercice 3Aire sous une courbe

Soit \(f(x) = 4 - x^2\).

1. Calculer l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses sur \([-2\,;\,2]\).
2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,dx\) et interpréter le signe.
3. Calculer l'aire entre la courbe et l'axe sur \([0\,;\,3]\).

Exercice 4Aire entre deux courbes

1. Aire entre \(y = x^2\) et \(y = x\) sur \([0\,;\,1]\).
2. Aire entre \(y = e^{x}\) et \(y = x + 1\) sur \([0\,;\,1]\).
3. Aire entre \(y = x^2 - 4\) et \(y = 2x - 1\) (chercher les intersections).

Exercice 5Valeur moyenne

1. Valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0\,;\,3]\).
2. Valeur moyenne de \(g(x) = e^{x}\) sur \([0\,;\,\ln 4]\).
3. Valeur moyenne de \(h(x) = \sin x\) sur \([0\,;\,\pi]\).

Exercice 6Propriétés

On sait que \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5\) et \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx = -2\).

1. Calculer \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx\) et \(\displaystyle\int_5^0 f(x)\,dx\).
2. Calculer \(\displaystyle\int_0^5 (3f(x) + 2)\,dx\).
3. Peut-on calculer \(\displaystyle\int_0^5 |f(x)|\,dx\) ?

Exercice 7Intégration par parties

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_0^1 xe^{x} \,dx\)
2. \(\displaystyle\int_1^e \ln x \,dx\)
3. \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x \,dx\)
4. \(\displaystyle\int_1^2 x^2\ln x \,dx\)

Exercice 8Encadrement

1. Montrer que pour \(x \in [0\,;\,1]\), \(1 \leq e^{x^2} \leq e\). En déduire un encadrement de \(\displaystyle\int_0^1 e^{x^2}\,dx\).
2. Encadrer \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^3 + 1}\,dx\).

Exercice 9Suite d'intégrales

Pour \(n \in \mathbb{N}\), \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{x}\,dx\).

1. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).
2. Montrer que \(I_{n+1} = e - (n + 1)I_n\).
3. Montrer que \((I_n)\) est décroissante et positive.
4. En déduire qu'elle converge.

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = xe^{-x}\) sur \([0\,;\,+\infty[\).

1. Variations et limite en \(+\infty\).
2. Calculer \(A(t) = \displaystyle\int_0^t f(x)\,dx\) par parties.
3. Limite de \(A(t)\) quand \(t \to +\infty\). Interpréter.