Exercices de maths Terminale : Logarithme népérien

Exercice 1Propriétés

Simplifier :

1. \(\ln 8 - \ln 2\)
2. \(\ln 12 + \ln 3 - \ln 4\)
3. \(\ln e^5\)
4. \(e^{\ln 7}\)
5. \(\ln \sqrt{e}\)
6. \(\ln\dfrac{1}{e^3}\)

Exercice 2Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3

1. \(\ln 6\)
2. \(\ln 18\)
3. \(\ln \dfrac{4}{9}\)
4. \(\ln 0{,}75\)
5. \(\ln \sqrt{12}\)

Exercice 3Équations

Résoudre :

1. \(\ln x = 3\)
2. \(\ln(2x - 1) = 0\)
3. \(e^{x} = 5\)
4. \(\ln(x + 1) + \ln(x - 1) = \ln 8\)
5. \(2\ln x = \ln(x + 6)\)

Exercice 4Inéquations

Résoudre :

1. \(\ln x < 2\)
2. \(\ln(3x - 2) \geq 0\)
3. \(e^{2x} > 10\)
4. \(0{,}8^n < 0{,}01\) (\(n\) entier)
5. \(1{,}05^n \geq 2\) (\(n\) entier)

Exercice 5Dérivées

Dériver :

1. \(f(x) = x\ln x\)
2. \(g(x) = \ln(x^2 + 1)\)
3. \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x}\)
4. \(k(x) = (\ln x)^2\)
5. \(m(x) = \ln(3x - 2)\)

Exercice 6Limites

Déterminer :

1. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}\)
2. \(\lim_{x \to 0^+} x\ln x\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} \ln x - x\)
4. \(\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x}\)
5. \(\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1}\)

Exercice 7Étude de fonction

Soit \(f(x) = x - \ln x\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

1. Limites aux bornes.
2. Variations et minimum.
3. En déduire \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).

Exercice 8Fonction ln x / x

Soit \(g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\).

1. Limites en \(0^+\) et \(+\infty\).
2. Variations et maximum.
3. Résoudre \(g(x) = 0\). Combien de solutions a \(g(x) = 0{,}3\) ?

Exercice 9Suites et ln

1. Un capital placé à \(4\,\%\) : au bout de combien d'années double-t-il ?
2. \(u_n = 5 \times 0{,}6^n\). À partir de quel rang \(u_n < 10^{-3}\) ?
3. Résoudre \(3^n > 10^{12}\).

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = \ln(x^2 + 1) - x\).

1. Dérivée et variations sur \(\mathbb{R}\).
2. Signe de \(f\) et conséquence : \(\ln(x^2 + 1) \leq x\) pour \(x \geq 0\) ?
3. Convexité de \(f\).