Exercices de maths Terminale : Limites de fonctions

Exercice 1Limites usuelles

Déterminer :

1. \(\lim_{x \to +\infty} x^3 - 2x\)
2. \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x^2}\)
3. \(\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\)
4. \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}\)
5. \(\lim_{x \to -\infty} \sqrt{-x}\)

Exercice 2Polynômes et rationnelles

Déterminer les limites en \(+\infty\) et \(-\infty\) :

1. \(f(x) = -2x^3 + 5x^2 - 1\)
2. \(g(x) = \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 4}\)
3. \(h(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 + 3}\)
4. \(k(x) = \dfrac{2x^3}{x + 1}\)

Exercice 3Limites en un point

Déterminer :

1. \(\lim_{x \to 2^+} \dfrac{1}{x - 2}\) et \(\lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{x - 2}\)
2. \(\lim_{x \to 1} \dfrac{x + 3}{(x - 1)^2}\)
3. \(\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\)
4. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\)

Exercice 4Asymptotes

Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\).

1. Limites en \(\pm\infty\), en \(3^+\) et \(3^-\).
2. Asymptotes.
3. Position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale.

Exercice 5Avec exponentielle

Déterminer :

1. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}\)
2. \(\lim_{x \to -\infty} xe^{x}\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} (x^2 - 3)e^{-x}\)
4. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\)
5. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}\)

Exercice 6Composées

Déterminer :

1. \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1}\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}\)
3. \(\lim_{x \to 0^+} e^{1/x}\)
4. \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{x + 1}{x}}\)

Exercice 7Comparaison

1. Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} x + \sin x = +\infty\).
2. Montrer que \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0\).
3. Sachant que \(e^x \geq x + 1\), retrouver \(\lim_{x \to +\infty} e^x\).

Exercice 8Asymptote oblique

Soit \(f(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}\).

1. Limites aux bornes de l'ensemble de définition.
2. Montrer que la droite \(y = x + 1\) est asymptote en \(\pm\infty\).
3. Position relative courbe/asymptote.

Exercice 9Étude complète

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\).

1. Limites aux bornes.
2. Dérivée et variations.
3. Montrer que \(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}\) et en déduire une asymptote oblique.

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = (x + 2)e^{-x}\).

1. Limites en \(+\infty\) et \(-\infty\).
2. Dérivée et tableau de variations.
3. Nombre de solutions de \(f(x) = k\) selon \(k\).
4. Tracer l'allure de la courbe.