Exercices de maths 3e : Calcul littéral : identités remarquables

Exercice 1Développer (rappels)

Développer et réduire :

1. \((3x + 2)(x - 5)\)
2. \((2x - 3)(4x + 1)\)
3. \(-2(x + 1)(x - 4)\)
4. \((x + 3)(x - 3) - (x - 1)(x + 2)\)

Exercice 2Identités remarquables

Développer en utilisant une identité remarquable :

1. \((x + 4)^2\)
2. \((3x - 1)^2\)
3. \((2x + 5)(2x - 5)\)
4. \((5 - x)^2\)
5. \((4x + 3y)^2\)

Exercice 3Calcul mental

Utiliser une identité remarquable pour calculer :

1. \(101^2\)
2. \(99^2\)
3. \(102 \times 98\)
4. \(53^2 - 47^2\)
5. \(1\,003 \times 997\)

Exercice 4Factoriser avec un facteur commun

Factoriser :

1. \(5x^2 - 15x\)
2. \((x + 3)(2x - 1) + (x + 3)(x + 7)\)
3. \((2x + 1)^2 - (2x + 1)(x - 3)\)
4. \(x(x - 4) - 3(x - 4)\)

Exercice 5Factoriser avec a² − b²

Factoriser :

1. \(x^2 - 49\)
2. \(9x^2 - 25\)
3. \(16 - x^2\)
4. \((x + 2)^2 - 9\)
5. \((3x - 1)^2 - (x + 5)^2\)

Exercice 6Reconnaître un carré

Factoriser :

1. \(x^2 + 6x + 9\)
2. \(4x^2 - 12x + 9\)
3. \(x^2 - 10x + 25\)
4. \(25x^2 + 20x + 4\)

Exercice 7Développer puis factoriser

Soit \(E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2\).

1. Développer et réduire \(E\).
2. Factoriser \(E\).
3. Calculer \(E\) pour \(x = -1\) avec la forme la plus adaptée.

Exercice 8Trois formes

Soit \(F = (x - 3)^2 - 16\).

1. Développer \(F\).
2. Factoriser \(F\).
3. Résoudre \(F = 0\).
4. Calculer \(F\) pour \(x = 3\) et pour \(x = \sqrt{2} + 3\).

Exercice 9Démonstration

1. Montrer que \((n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1\) pour tout entier \(n\). Que peut-on en déduire sur la différence de deux carrés consécutifs ?
2. Montrer que \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\).

Exercice 10Problème

Un carré de côté \(x\) est entouré d'une bordure de largeur \(2\).

1. Exprimer l'aire du grand carré (côté \(x + 4\)).
2. Exprimer l'aire de la bordure sous forme développée puis factorisée.
3. Pour quelle valeur de \(x\) l'aire de la bordure vaut-elle \(56\) ?