Exercices de maths 2nde : Vecteurs

Exercice 1Vecteurs égaux

ABCD est un parallélogramme de centre O.

1. Citer tous les vecteurs égaux à \(\overrightarrow{AB}\) formés avec les points A, B, C, D, O.
2. Citer les vecteurs égaux à \(\overrightarrow{AO}\).
3. Que peut-on dire de \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CB}\) ?

Exercice 2Translation

Tracer un triangle ABC.

1. Construire D tel que \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
2. Construire E tel que \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}\).
3. Quelle est la nature de ABCD ? de ABEC ?

Exercice 3Coordonnées

Dans un repère, A\((2\,;\,-1)\), B\((5\,;\,3)\), C\((-1\,;\,4)\).

1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CA}\).
2. Vérifier que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}\).
3. Calculer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 4Somme de vecteurs

Tracer trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) non colinéaires.

1. Construire \(\vec{u} + \vec{v}\) (règle du parallélogramme).
2. Construire \(\vec{u} - \vec{w}\).
3. Construire \(2\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}\).

Exercice 5Relation de Chasles

Simplifier :

1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)
2. \(\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MP}\)
3. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}\)
4. \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}\)
5. \(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}\)

Exercice 6Norme

Dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(3\,;\,-4)\), \(\vec{v}(-1\,;\,2)\), A\((1\,;\,1)\), B\((4\,;\,5)\).

1. Calculer \(\|\vec{u}\|\), \(\|\vec{v}\|\), \(AB\).
2. Calculer \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\). A-t-on \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\) ?

Exercice 7Colinéarité

Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?

1. \(\vec{u}(2\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(-6\,;\,9)\)
2. \(\vec{u}(4\,;\,1)\) et \(\vec{v}(8\,;\,3)\)
3. \(\vec{u}(\sqrt{2}\,;\,1)\) et \(\vec{v}(2\,;\,\sqrt{2})\)
4. Pour quelle valeur de \(k\) les vecteurs \((3\,;\,k)\) et \((-2\,;\,4)\) sont-ils colinéaires ?

Exercice 8Alignement et parallélisme

A\((-2\,;\,1)\), B\((1\,;\,3)\), C\((7\,;\,7)\), D\((0\,;\,-3)\).

1. Les points A, B, C sont-ils alignés ?
2. Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ?

Exercice 9Milieu et vecteurs

1. A\((3\,;\,-2)\) et B\((-1\,;\,6)\). Calculer les coordonnées du milieu I de \([AB]\).
2. Vérifier que \(\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
3. Déterminer C tel que I soit aussi le milieu de \([CD]\) avec D\((5\,;\,0)\).

Exercice 10Problème

ABC est un triangle. On définit M par \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et N par \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).
3. En déduire que \((MN) \parallel (BC)\).
4. Retrouver ce résultat en coordonnées avec A\((0\,;\,0)\), B\((6\,;\,0)\), C\((3\,;\,6)\).