Exercices de maths 2nde : Fonctions polynômes du second degré

Exercice 1Forme canonique

Vérifier les égalités puis en déduire le sommet de la parabole :

1. \(x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4\)
2. \(2x^2 + 8x + 3 = 2(x + 2)^2 - 5\)
3. \(-x^2 + 4x + 1 = 5 - (x - 2)^2\)

Exercice 2Mettre sous forme canonique

Écrire sous la forme \(a(x - \alpha)^2 + \beta\) :

1. \(x^2 + 4x - 1\)
2. \(x^2 - 10x + 30\)
3. \(3x^2 - 12x + 7\)
4. \(-2x^2 + 4x + 6\)

Exercice 3Variations

Pour chaque fonction, dresser le tableau de variations et préciser l'extremum :

1. \(f(x) = (x - 1)^2 + 3\)
2. \(g(x) = -2(x + 3)^2 + 8\)
3. \(h(x) = x^2 - 8x + 12\)

Exercice 4Racines

Résoudre en factorisant :

1. \((x - 3)^2 - 4 = 0\)
2. \(x^2 - 8x + 12 = 0\) (utiliser la forme canonique)
3. \(2(x + 1)^2 - 18 = 0\)
4. \((x - 2)^2 + 1 = 0\)

Exercice 5Forme factorisée

Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x + 4)\).

1. Donner les racines de \(f\).
2. Développer \(f(x)\).
3. Déterminer l'abscisse du sommet (milieu des racines) et la valeur de l'extremum.
4. Dresser le tableau de signes de \(f\).

Exercice 6Lecture graphique

Une parabole a pour sommet \((2\,;\,-1)\) et passe par \((0\,;\,3)\).

1. Déterminer \(a\) dans \(f(x) = a(x - 2)^2 - 1\).
2. Développer \(f(x)\).
3. Déterminer les racines.

Exercice 7Tableau de signes

Dresser le tableau de signes de :

1. \(f(x) = (x - 2)(x + 5)\)
2. \(g(x) = -3(x - 1)(x - 4)\)
3. \(h(x) = x^2 - 9\)

En déduire les solutions de \(f(x) \leq 0\), \(g(x) > 0\), \(h(x) < 0\).

Exercice 8Trajectoire

La hauteur (m) d'un ballon en fonction du temps (s) est \(h(t) = -5t^2 + 10t + 1{,}2\).

1. Hauteur au départ ?
2. Mettre sous forme canonique et déterminer la hauteur maximale et l'instant correspondant.
3. Le ballon passe-t-il au-dessus de \(6\) m ?

Exercice 9Optimisation

Avec \(40\) m de grillage, on veut clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (un seul côté de longueur non clôturé). On note \(x\) la largeur.

1. Exprimer la longueur puis l'aire \(A(x)\).
2. Mettre \(A(x)\) sous forme canonique.
3. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ?

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = x^2 - 2x - 3\).

1. Forme canonique et sommet.
2. Forme factorisée et racines.
3. Tableau de variations et de signes.
4. Résoudre \(f(x) = 5\) et \(f(x) \geq -3\).
5. Tracer la parabole.