Exercices de maths 2nde : Généralités sur les fonctions

Exercice 1Ensemble de définition

Déterminer l'ensemble de définition :

1. \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)
2. \(g(x) = \sqrt{2x + 4}\)
3. \(h(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}\)
4. \(k(x) = \sqrt{5 - x} + \dfrac{1}{x}\)

Exercice 2Images et antécédents par le calcul

Soit \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).

1. Calculer \(f(0)\), \(f(3)\), \(f(-1)\).
2. Déterminer les antécédents de \(1\), de \(0\), de \(2\).

Exercice 3Lecture graphique

La courbe de \(f\) définie sur \([-4\,;\,5]\) passe par \((-4\,;\,-1)\), \((-2\,;\,3)\), \((0\,;\,1)\), \((2\,;\,-2)\), \((5\,;\,4)\), avec des maxima/minima en ces points.

1. Dresser le tableau de variations.
2. Donner le maximum et le minimum sur \([-4\,;\,5]\).
3. Résoudre graphiquement \(f(x) = 1\) (nombre de solutions).

Exercice 4Tableau de variations

Une fonction \(g\) est définie sur \([-3\,;\,6]\), croissante sur \([-3\,;\,0]\), décroissante sur \([0\,;\,4]\), croissante sur \([4\,;\,6]\), avec \(g(-3) = -2\), \(g(0) = 5\), \(g(4) = -1\), \(g(6) = 3\).

1. Dresser le tableau de variations.
2. Comparer \(g(1)\) et \(g(3)\) ; \(g(-2)\) et \(g(-1)\).
3. Combien de solutions a l'équation \(g(x) = 0\) ?

Exercice 5Variations par le calcul

1. Montrer que \(f(x) = 3x - 5\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (avec \(a < b\)).
2. Montrer que \(g(x) = x^2\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\).
3. Montrer que \(h(x) = \dfrac{1}{x}\) est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 6Parité

Étudier la parité :

1. \(f(x) = x^2 + 3\)
2. \(g(x) = x^3 - x\)
3. \(h(x) = x^2 + x\)
4. \(k(x) = \dfrac{1}{x^2}\)

Que peut-on en déduire pour la courbe ?

Exercice 7Résolution graphique

On a tracé les courbes de \(f(x) = x^2 - 2\) et \(g(x) = x\).

1. Vérifier que \(f(x) = g(x) \iff (x - 2)(x + 1) = 0\).
2. Résoudre graphiquement puis algébriquement \(f(x) = g(x)\).
3. Résoudre \(f(x) \leq g(x)\).

Exercice 8Fonction définie par morceaux

Soit \(f\) définie sur \([-2\,;\,4]\) par \(f(x) = 2x + 1\) si \(x \leq 1\) et \(f(x) = -x + 4\) si \(x > 1\).

1. Calculer \(f(-2)\), \(f(1)\), \(f(3)\).
2. Tracer la courbe.
3. Dresser le tableau de variations et donner le maximum.

Exercice 9Extremum

Soit \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).

1. Montrer que \(f(x) = 4 - (x - 3)^2\).
2. En déduire que \(f\) admet un maximum, le donner.
3. Dresser le tableau de variations.

Exercice 10Problème

On veut fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'un carré de carton de \(20\) cm de côté en découpant aux quatre coins des carrés de côté \(x\).

1. Exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte. Sur quel intervalle \(x\) varie-t-il ?
2. Tableau de valeurs pour \(x = 1, 2, 3, 4, 5\).
3. Conjecturer la valeur de \(x\) rendant le volume maximal.