Exercices de maths 2nde : Arithmétique et raisonnement

Exercice 1Multiples et diviseurs

1. Montrer que \(2\,024\) est un multiple de \(8\).
2. Montrer que si \(a\) est multiple de \(6\) alors \(a\) est multiple de \(3\).
3. La réciproque est-elle vraie ? Donner un contre-exemple.

Exercice 2Parité

1. Écrire la forme générale d'un entier pair, d'un entier impair.
2. Démontrer que le carré d'un entier impair est impair.
3. Démontrer que la somme de deux entiers impairs est paire.

Exercice 3Nombres premiers

1. Décomposer \(2\,520\) en facteurs premiers.
2. Combien \(2\,520\) a-t-il de diviseurs ?
3. Montrer que \(2\,520\) est divisible par tous les entiers de \(1\) à \(10\).

Exercice 4Contre-exemple

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Sinon, donner un contre-exemple.

1. Pour tout entier \(n\), \(n^2 + n + 41\) est premier.
2. Si \(a^2 = b^2\) alors \(a = b\).
3. Tout nombre impair est premier.
4. Si \(n\) est pair alors \(n^2\) est divisible par \(4\).

Exercice 5Quantificateurs

Traduire en français puis dire si c'est vrai :

1. \(\forall x \in \mathbb{R},\; x^2 \geq 0\)
2. \(\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 = -1\)
3. \(\forall n \in \mathbb{N},\; \exists m \in \mathbb{N},\; m > n\)
4. \(\exists x \in \mathbb{R},\; \forall y \in \mathbb{R},\; x \leq y\)

Exercice 6Implication et réciproque

Pour chaque implication, écrire la réciproque et dire si l'implication et sa réciproque sont vraies :

1. Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
2. Si \(x = 2\) alors \(x^2 = 4\).
3. Si \(n\) est divisible par \(10\) alors \(n\) est divisible par \(5\).

Exercice 7Divisibilité par 3

1. Écrire un entier à deux chiffres \(\overline{ab}\) sous la forme \(10a + b\).
2. Montrer que \(\overline{ab}\) est divisible par \(3\) si et seulement si \(a + b\) l'est.
3. Généraliser à un entier à trois chiffres.

Exercice 8Nombres consécutifs

1. Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est pair.
2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de \(5\).
3. La somme de quatre entiers consécutifs est-elle un multiple de \(4\) ?

Exercice 9Raisonnement par l'absurde

1. Montrer qu'il n'existe pas d'entier \(n\) tel que \(n^2 = 2\).
2. Montrer que \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
3. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers (idée d'Euclide).

Exercice 10Problème

Soit \(n\) un entier naturel.

1. Montrer que \(n(n + 1)(n + 2)\) est divisible par \(6\).
2. Montrer que \(n^3 - n\) est divisible par \(6\).
3. Montrer que \(n^2 + n\) est pair puis que \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) est entier.