Exercices de maths 2nde : Ensembles de nombres et intervalles

Exercice 1Appartenance

Pour chaque nombre, dire s'il appartient à \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) : \(-7\) ; \(\dfrac{3}{4}\) ; \(\dfrac{1}{3}\) ; \(\sqrt{16}\) ; \(\sqrt{5}\) ; \(\pi\) ; \(0{,}125\) ; \(-\dfrac{22}{7}\).

Exercice 2Décimal ou non

1. Montrer que \(\dfrac{7}{20}\) est décimal.
2. Montrer que \(\dfrac{5}{12}\) n'est pas décimal.
3. À quelle condition sur le dénominateur d'une fraction irréductible celle-ci est-elle décimale ?

Exercice 3Irrationnels

1. Démontrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel (raisonnement par l'absurde).
2. Le nombre \(\sqrt{2} + 1\) est-il rationnel ?
3. \(\sqrt{2} \times \sqrt{8}\) est-il rationnel ?

Exercice 4Intervalles

Écrire sous forme d'intervalle :

1. \(x \geq 3\)
2. \(-2 < x \leq 5\)
3. \(x < 0\)
4. \(1 \leq x \leq 1{,}5\)
5. \(x > -4\) et \(x \leq 2\)

Exercice 5Union et intersection

Déterminer :

1. \([-3\,;\,2] \cap [0\,;\,5]\)
2. \([-3\,;\,2] \cup [0\,;\,5]\)
3. \(]-\infty\,;\,1[ \cap [-2\,;\,+\infty[\)
4. \(]1\,;\,4[ \cup [4\,;\,7]\)
5. \([0\,;\,2] \cap ]2\,;\,3]\)

Exercice 6Valeur absolue

1. Calculer \(|{-5}|\), \(|3 - 7|\), \(|\sqrt{2} - 1|\), \(|1 - \sqrt{2}|\).
2. Résoudre \(|x| = 4\), \(|x - 2| = 3\), \(|x + 1| \leq 2\).
3. Écrire \(|x - 5| < 1\) sous forme d'un intervalle.

Exercice 7Encadrements

1. Donner un encadrement de \(\sqrt{7}\) d'amplitude \(0{,}1\).
2. Sachant que \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\), encadrer \(2\pi\) et \(\pi - 3\).
3. Si \(x \in [2\,;\,3]\), encadrer \(3x - 1\) et \(x^2\).

Exercice 8Arrondis et troncatures

1. Donner l'arrondi au centième et la troncature au centième de \(\dfrac{2}{3}\), \(\sqrt{10}\), \(\pi\).
2. Un nombre arrondi au dixième donne \(4{,}7\). Dans quel intervalle se trouve-t-il ?

Exercice 9Calculs avec racines

Simplifier :

1. \(\sqrt{50}\)
2. \(\sqrt{12} + \sqrt{27}\)
3. \((\sqrt{3} + 1)^2\)
4. \((2\sqrt{5} - 1)(2\sqrt{5} + 1)\)
5. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) (sans racine au dénominateur)

Exercice 10Problème

Soit \(a = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (nombre d'or).

1. Calculer \(a^2\) et montrer que \(a^2 = a + 1\).
2. En déduire \(\dfrac{1}{a}\) en fonction de \(a\).
3. Donner un encadrement de \(a\) à \(10^{-2}\) près.