Exercice 1Loi de probabilité
On lance un dé équilibré. X = « nombre obtenu ».
- Donner la loi de X.
- Calculer \(E(X)\).
- Calculer \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
Cette page propose 10 exercices de mathématiques en 1ère sur le chapitre variables aléatoires. Les énoncés suivent le programme officiel de première et couvrent les notions essentielles du chapitre, du calcul de base aux problèmes.
Exercice 2Jeu
On tire une carte dans un jeu de \(32\). On gagne \(10\) € pour un as, \(3\) € pour une figure, on perd \(2\) € sinon. X = gain.
- Loi de X.
- Espérance. Le jeu est-il équitable ?
- Quelle mise faudrait-il pour un jeu équitable ?
Exercice 3Deux dés
On lance deux dés et X = somme des faces.
- Loi de X (tableau).
- \(E(X)\).
- \(P(X \geq 10)\), \(P(4 \leq X \leq 8)\).
Exercice 4Variance
X prend les valeurs \(-2, 0, 1, 5\) avec les probabilités \(0{,}1\) ; \(0{,}3\) ; \(0{,}4\) ; \(0{,}2\).
- Vérifier que c'est une loi de probabilité.
- Calculer \(E(X)\), \(V(X)\), \(\sigma(X)\).
Exercice 5Transformation affine
X a pour espérance \(4\) et variance \(9\). Soit \(Y = 3X - 5\).
- Calculer \(E(Y)\), \(V(Y)\), \(\sigma(Y)\).
- Même question pour \(Z = -2X + 1\).
Exercice 6Paramètre
X prend les valeurs \(1, 2, 3\) avec \(P(X = 1) = a\), \(P(X = 2) = 2a\), \(P(X = 3) = 0{,}4\).
- Déterminer \(a\).
- Calculer \(E(X)\).
Exercice 7Loto simplifié
Une grille coûte \(2\) €. On tire un nombre entre \(1\) et \(20\). Le joueur coche un nombre ; s'il gagne, il reçoit \(30\) €.
- Loi du gain net.
- Espérance du gain net.
- Sur \(1\,000\) grilles, gain moyen de l'organisateur ?
Exercice 8Assurance
Une assurance coûte \(120\) € par an. La probabilité de sinistre est \(0{,}05\), et le remboursement moyen est de \(1\,800\) €.
- Loi du bénéfice de l'assureur pour un client.
- Espérance de ce bénéfice.
- Bénéfice espéré pour \(10\,000\) clients.
Exercice 9Arbre et variable
On lance trois fois une pièce équilibrée. X = nombre de piles.
- Arbre et loi de X.
- \(E(X)\), \(V(X)\).
- \(P(X \geq 2)\).
Exercice 10Problème
Un joueur lance un dé : s'il obtient \(6\), il gagne \(a\) € ; s'il obtient un nombre pair autre que \(6\), il gagne \(2\) € ; sinon il perd \(3\) €.
- Loi du gain X en fonction de \(a\).
- Pour quelle valeur de \(a\) le jeu est-il équitable ?
- Pour \(a = 12\), calculer l'écart-type.
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