Exercices de maths 1ère : Probabilités conditionnelles

Exercice 1Définition

Dans une classe de \(30\) élèves, \(18\) filles ; \(12\) élèves sont internes dont \(8\) filles. On choisit un élève au hasard. F : « fille », I : « interne ».

1. Calculer \(P(F)\), \(P(I)\), \(P(F \cap I)\).
2. Calculer \(P_F(I)\) et \(P_I(F)\).

Exercice 2Tableau

Sur \(500\) pièces produites par deux machines : machine A : \(300\) pièces dont \(4\,\%\) défectueuses ; machine B : \(200\) pièces dont \(6\,\%\) défectueuses.

1. Compléter le tableau des effectifs.
2. Une pièce est défectueuse. Probabilité qu'elle vienne de A ?

Exercice 3Arbre pondéré

Un sac contient \(3\) boules blanches et \(5\) noires. On tire deux boules sans remise.

1. Construire l'arbre.
2. Calculer la probabilité de tirer deux blanches.
3. Calculer la probabilité que la seconde boule soit blanche.

Exercice 4Probabilités totales

Dans une population, \(40\,\%\) sont fumeurs. Parmi les fumeurs, \(25\,\%\) ont une maladie ; parmi les non-fumeurs, \(5\,\%\).

1. Arbre pondéré.
2. Probabilité qu'une personne ait la maladie ?
3. Une personne a la maladie. Probabilité qu'elle soit fumeuse ?

Exercice 5Indépendance

1. \(P(A) = 0{,}4\), \(P(B) = 0{,}5\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). A et B sont-ils indépendants ?
2. \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}6\), \(P(A \cup B) = 0{,}7\). Indépendants ?
3. Si A et B sont indépendants, montrer que \(\bar{A}\) et B le sont aussi.

Exercice 6Dés

On lance deux dés. A : « la somme est 7 », B : « le premier dé donne 3 », C : « la somme est paire ».

1. Calculer \(P(A)\), \(P(B)\), \(P(A \cap B)\). A et B sont-ils indépendants ?
2. B et C sont-ils indépendants ?

Exercice 7Test médical

Une maladie touche \(1\,\%\) de la population. Un test est positif chez \(98\,\%\) des malades et chez \(2\,\%\) des non-malades.

1. Arbre pondéré.
2. \(P(T)\) où T : « test positif ».
3. \(P_T(M)\). Commenter.

Exercice 8Trois niveaux

On lance une pièce trois fois. On note \(p = P(\text{pile}) = 0{,}55\).

1. Arbre à trois niveaux.
2. Probabilité d'obtenir exactement deux piles.
3. Probabilité d'obtenir au moins un pile.
4. Sachant qu'on a obtenu au moins un pile, probabilité d'en avoir exactement deux ?

Exercice 9Enquête

Sondage : \(60\,\%\) des sondés ont moins de \(40\) ans. Parmi eux, \(70\,\%\) utilisent une application ; parmi les autres, \(35\,\%\).

1. Probabilité qu'un sondé utilise l'application ?
2. Un sondé utilise l'application. Probabilité qu'il ait moins de \(40\) ans ?
3. Les événements « moins de 40 ans » et « utilise l'application » sont-ils indépendants ?

Exercice 10Problème

Une urne contient \(n\) boules blanches et \(3\) noires. On tire deux boules successivement avec remise.

1. Probabilité de tirer deux blanches en fonction de \(n\).
2. Pour quelle valeur de \(n\) cette probabilité vaut-elle \(\dfrac{1}{4}\) ?
3. Reprendre sans remise.