Exercices de maths 1ère : Algorithmique et Python

Exercice 1Suites

1. Écrire une fonction u(n) renvoyant le terme de rang \(n\) de \(u_0 = 3\), \(u_{n+1} = 2u_n - 1\).
2. Écrire une fonction somme(n) renvoyant \(u_0 + \dots + u_n\).
3. Écrire une fonction seuil(A) renvoyant le plus petit \(n\) tel que \(u_n > A\).

Exercice 2Listes de termes

L = [1]
for k in range(10):
    L.append(L[-1] * 1.5)
print(L)

1. Que contient la liste L ?
2. Quelle suite est représentée ?
3. Modifier pour une suite arithmétique de raison \(-2\).

Exercice 3Dérivée numérique

1. Écrire une fonction derivee(f, a, h) renvoyant \(\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\).
2. Tester avec \(f(x) = x^2\), \(a = 3\), \(h = 0{,}001\).
3. Comparer avec la valeur exacte.

Exercice 4Tangente

Écrire une fonction tangente(a) qui, pour \(f(x) = x^3 - 2x\), affiche l'équation de la tangente en \(a\) sous la forme y = m*x + p.

Exercice 5Dichotomie

On cherche la solution de \(x^3 + x - 1 = 0\) sur \([0\,;\,1]\).

a, b = 0, 1
while b - a > 0.001:
    m = (a + b) / 2
    if m**3 + m - 1 < 0:
        a = m
    else:
        b = m
print(a, b)

1. Expliquer le principe.
2. Combien d'itérations ?
3. Adapter pour une précision \(10^{-6}\).

Exercice 6Simulation de dés

1. Écrire une fonction somme_deux_des() renvoyant la somme de deux dés simulés.
2. Simuler \(10\,000\) lancers et estimer \(P(\text{somme} = 7)\).
3. Comparer avec la valeur théorique.

Exercice 7Espérance simulée

Un jeu : on gagne \(5\) € avec probabilité \(0{,}2\), on perd \(1\) € sinon.

1. Écrire une fonction simulant une partie avec random.random().
2. Simuler \(N\) parties et calculer le gain moyen.
3. Comparer avec l'espérance théorique.

Exercice 8Probabilité conditionnelle simulée

Une urne : \(3\) blanches, \(2\) noires. Deux tirages sans remise.

1. Écrire une fonction simulant le tirage et renvoyant les deux couleurs.
2. Estimer par simulation la probabilité que la deuxième soit blanche sachant que la première est noire.

Exercice 9Trigonométrie

1. Écrire une fonction mesure_principale(x) qui ramène \(x\) dans \(]-\pi\,;\,\pi]\).
2. Tester avec \(x = \dfrac{17\pi}{6}\).
3. Écrire une fonction convertissant degrés en radians.

Exercice 10Problème

Un capital \(C_0 = 1\,000\) € est placé à \(2\,\%\) et on ajoute \(100\) € chaque année.

1. Écrire la relation de récurrence.
2. Écrire une fonction capital(n).
3. Écrire un programme donnant l'année où le capital dépasse \(3\,000\) €.