Exercices de maths 1ère : Géométrie repérée : droites et cercles

Exercice 1Vecteur normal

1. Donner un vecteur normal à la droite \(3x - 2y + 5 = 0\).
2. Déterminer une équation de la droite passant par A\((1\,;\,-2)\) de vecteur normal \(\vec{n}(4\,;\,1)\).
3. Déterminer une équation de la droite passant par B\((0\,;\,3)\) perpendiculaire à \(\vec{u}(2\,;\,-5)\).

Exercice 2Perpendiculaires

1. Les droites \(2x + 3y - 1 = 0\) et \(3x - 2y + 4 = 0\) sont-elles perpendiculaires ?
2. Équation de la perpendiculaire à \(y = 2x - 1\) passant par \((3\,;\,4)\).
3. Équation de la hauteur issue de A dans le triangle A\((1\,;\,5)\), B\((-2\,;\,1)\), C\((4\,;\,-1)\).

Exercice 3Médiatrice

A\((-1\,;\,3)\), B\((5\,;\,-1)\).

1. Coordonnées du milieu I de \([AB]\).
2. Équation de la médiatrice de \([AB]\) (vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\)).
3. Retrouver ce résultat avec \(MA = MB\).

Exercice 4Projeté orthogonal

Soit \(d : x + 2y - 4 = 0\) et A\((3\,;\,5)\).

1. Équation de la perpendiculaire à \(d\) passant par A.
2. Coordonnées du projeté orthogonal H de A sur \(d\).
3. Distance de A à \(d\).

Exercice 5Équation de cercle

Donner une équation du cercle :

1. de centre \((2\,;\,-3)\) et de rayon \(4\) ;
2. de centre O et de rayon \(\sqrt{7}\) ;
3. de diamètre \([AB]\) avec A\((1\,;\,1)\), B\((5\,;\,3)\) ;
4. de centre \((1\,;\,2)\) passant par \((4\,;\,6)\).

Exercice 6Reconnaître un cercle

Déterminer la nature de l'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tels que :

1. \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\)
2. \(x^2 + y^2 + 2x - 8y + 17 = 0\)
3. \(x^2 + y^2 - 6x + 10 = 0\)
4. \(2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y - 6 = 0\)

Exercice 7Cercle et droite

Soit \(\mathcal{C} : (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\).

1. Centre et rayon.
2. Le point A\((4\,;\,2)\) appartient-il à \(\mathcal{C}\) ?
3. Équation de la tangente à \(\mathcal{C}\) en A.
4. Intersection de \(\mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.

Exercice 8Cercle passant par trois points

A\((0\,;\,0)\), B\((6\,;\,0)\), C\((0\,;\,4)\).

1. Déterminer le centre du cercle circonscrit (intersection de deux médiatrices).
2. Calculer le rayon.
3. Écrire l'équation du cercle.

Exercice 9Ensemble de points

A\((-3\,;\,0)\), B\((3\,;\,0)\).

1. Déterminer l'ensemble des points M tels que \(MA^2 + MB^2 = 26\).
2. Déterminer l'ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = -5\).

Exercice 10Problème

Soit \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(\Omega(2\,;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{5}\), et \(d : y = 2x + k\).

1. Équation de \(\mathcal{C}\).
2. Montrer que les abscisses des points d'intersection vérifient \(5x^2 + (4k - 8)x + k^2 - 2k = 0\).
3. Pour quelles valeurs de \(k\) la droite est-elle tangente au cercle ?