Exercices de maths 1ère : Trigonométrie

Exercice 1Conversions

1. Convertir en radians : \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(120^\circ\), \(210^\circ\), \(315^\circ\).
2. Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\).

Exercice 2Cercle trigonométrique

Placer sur le cercle trigonométrique les points associés à : \(\dfrac{\pi}{3}\), \(-\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{4}\), \(\pi\), \(-\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{13\pi}{6}\).

Exercice 3Mesure principale

Déterminer la mesure principale de :

1. \(\dfrac{9\pi}{4}\)
2. \(\dfrac{17\pi}{6}\)
3. \(-\dfrac{7\pi}{3}\)
4. \(\dfrac{31\pi}{2}\)
5. \(100\pi\)

Exercice 4Valeurs remarquables

Donner les valeurs exactes de :

1. \(\cos\dfrac{\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{\pi}{3}\)
2. \(\cos\dfrac{3\pi}{4}\), \(\sin\dfrac{3\pi}{4}\)
3. \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\), \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\)
4. \(\cos\dfrac{4\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{4\pi}{3}\)

Exercice 5Angles associés

Exprimer en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\) :

1. \(\cos(-x)\), \(\sin(-x)\)
2. \(\cos(\pi - x)\), \(\sin(\pi - x)\)
3. \(\cos(\pi + x)\), \(\sin(\pi + x)\)
4. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)\)

Exercice 6Relation fondamentale

1. \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) et \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\). Calculer \(\cos x\).
2. \(\cos x = -\dfrac{1}{3}\) et \(x \in [\pi\,;\,2\pi]\). Calculer \(\sin x\).
3. Simplifier \((\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2\).

Exercice 7Équations

Résoudre dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) puis dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(\cos x = \dfrac{1}{2}\)
2. \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
3. \(\cos x = -1\)
4. \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
5. \(2\cos x + 1 = 0\)

Exercice 8Inéquations

Résoudre dans \([0\,;\,2\pi[\) :

1. \(\cos x \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
2. \(\sin x < \dfrac{1}{2}\)
3. \(\cos x < 0\)

Exercice 9Fonctions cos et sin

1. Rappeler la parité et la période de \(\cos\) et \(\sin\).
2. Tracer \(\cos\) et \(\sin\) sur \([-\pi\,;\,2\pi]\).
3. Tableau de variations de \(\sin\) sur \([0\,;\,2\pi]\).

Exercice 10Problème

Soit \(f(x) = \cos^2 x - \sin^2 x\).

1. Calculer \(f(0)\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
2. Montrer que \(f(x) = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\).
3. Résoudre \(f(x) = 0\) dans \([0\,;\,2\pi[\).