Exercice 1Propriétés algébriques
Simplifier :
- \(e^3 \times e^{-5}\)
- \(\dfrac{e^{2x}}{e^{x - 1}}\)
- \((e^{x})^3 \times e^{-2x}\)
- \(\dfrac{e^{x} + e^{2x}}{e^{x}}\)
- \((e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2\)
Cette page propose 10 exercices de mathématiques en 1ère sur le chapitre fonction exponentielle. Les énoncés suivent le programme officiel de première et couvrent les notions essentielles du chapitre, du calcul de base aux problèmes.
Exercice 2Équations
Résoudre :
- \(e^{x} = e^{5}\)
- \(e^{2x - 1} = 1\)
- \(e^{x^2} = e^{4}\)
- \(e^{3x} = e^{x + 2}\)
- \(e^{x} = -2\)
Exercice 3Inéquations
Résoudre :
- \(e^{x} < e^{3}\)
- \(e^{-x} \geq 1\)
- \(e^{2x + 1} > e^{x - 4}\)
- \(e^{x^2 - 2x} \leq e^{3}\)
Exercice 4Dérivées
Dériver :
- \(f(x) = 3e^{x} - x^2\)
- \(g(x) = e^{4x + 1}\)
- \(h(x) = xe^{x}\)
- \(k(x) = \dfrac{e^{x}}{x}\)
- \(m(x) = e^{-x^2}\)
Exercice 5Variations
Étudier les variations :
- \(f(x) = (x - 1)e^{x}\)
- \(g(x) = e^{-2x} + 2x\)
- \(h(x) = xe^{-x}\)
Exercice 6Signe
Étudier le signe de :
- \(f(x) = (2x - 3)e^{x}\)
- \(g(x) = e^{x} - 1\)
- \(h(x) = (x^2 - 4)e^{-x}\)
Exercice 7Suite géométrique et exponentielle
Soit \(u_n = e^{0{,}3n}\).
- Montrer que \((u_n)\) est géométrique. Raison ?
- Sens de variation ?
- Même question pour \(v_n = 5e^{-0{,}2n}\).
Exercice 8Tangente
Soit \(f(x) = e^{x}\).
- Équation de la tangente en \(0\).
- Équation de la tangente en \(1\).
- Montrer que la courbe est au-dessus de la tangente en \(0\) (étudier \(g(x) = e^{x} - x - 1\)).
Exercice 9Croissance
Une population de bactéries est \(N(t) = 500e^{0{,}4t}\) (\(t\) en heures).
- Population initiale ? après \(3\) h ?
- Par quel facteur est-elle multipliée chaque heure ?
- Calculer \(N'(t)\) et interpréter.
Exercice 10Problème
Soit \(f(x) = (x^2 - 3x + 1)e^{x}\).
- Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
- Tableau de variations sur \(\mathbb{R}\).
- Équation de la tangente en \(0\).
- Résoudre \(f(x) = 0\).
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