Exercices de maths 1ère : Second degré

Exercice 1Forme canonique

Mettre sous forme canonique :

1. \(x^2 + 6x - 2\)
2. \(2x^2 - 8x + 5\)
3. \(-3x^2 + 12x - 7\)
4. \(\dfrac{1}{2}x^2 + x + 4\)

Exercice 2Discriminant

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
2. \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)
3. \(x^2 + 4x + 4 = 0\)
4. \(3x^2 - x + 1 = 0\)
5. \(-x^2 + 2x + 8 = 0\)

Exercice 3Factorisation

Factoriser lorsque c'est possible :

1. \(x^2 - 7x + 12\)
2. \(2x^2 + 5x - 3\)
3. \(4x^2 - 4x + 1\)
4. \(x^2 + x + 1\)
5. \(-2x^2 + 8\)

Exercice 4Signe d'un trinôme

Dresser le tableau de signes et résoudre l'inéquation :

1. \(x^2 - 3x - 4 \geq 0\)
2. \(-2x^2 + 5x - 2 > 0\)
3. \(x^2 + 2x + 5 < 0\)
4. \(3x^2 - 6x + 3 \leq 0\)

Exercice 5Somme et produit

1. Trouver deux nombres dont la somme est \(11\) et le produit \(28\).
2. Une racine de \(x^2 - 8x + c = 0\) est \(3\). Trouver \(c\) et l'autre racine.
3. Sans résoudre, dire si les racines de \(2x^2 - 7x - 15 = 0\) sont de même signe.

Exercice 6Paramètre

Soit l'équation \(x^2 - 2mx + m + 2 = 0\).

1. Calculer le discriminant en fonction de \(m\).
2. Pour quelles valeurs de \(m\) l'équation a-t-elle deux solutions distinctes ? une solution double ? aucune ?

Exercice 7Parabole

Soit \(f(x) = -x^2 + 4x + 5\).

1. Coordonnées du sommet.
2. Racines de \(f\).
3. Tableau de variations.
4. Tracer la parabole et donner l'ensemble des solutions de \(f(x) \geq 0\).

Exercice 8Position relative

Soit \(f(x) = x^2 - 2x\) et \(d : y = x + 4\).

1. Déterminer les points d'intersection de la parabole et de la droite.
2. Étudier la position relative sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 9Optimisation

Un fabricant vend \(x\) objets (en centaines) et réalise un bénéfice \(B(x) = -2x^2 + 24x - 40\) (en centaines d'euros), pour \(x \in [0\,;\,12]\).

1. Pour quelles productions le bénéfice est-il positif ?
2. Quelle production maximise le bénéfice ? Quel est ce bénéfice ?

Exercice 10Problème

Un rectangle est inscrit dans un triangle rectangle isocèle de côtés de l'angle droit \(10\) cm, un sommet du rectangle sur l'hypoténuse et deux côtés le long des côtés de l'angle droit. On note \(x\) la largeur.

1. Montrer que l'aire du rectangle est \(A(x) = x(10 - x)\).
2. Déterminer \(x\) pour que l'aire soit maximale.
3. Pour quelles valeurs de \(x\) l'aire dépasse-t-elle \(21\) cm² ?