Exercice 1

Soit ABC un triangle, D la barycentre de (A,1)(B,2)(C,3), E le barycentre de (A,2)(B,3)(C,1) et F le barycentre de (A,3)(B,1)(C,2).
Montrer que le centre de gravité du triangle ABC est aussi le centre de gravité du triangle DEF.

Exercice 2

A et B sont deux points distincts.
On considère C le barycentre de (A,2)(B,3) et D le barycentre de (A,3)(B,2).
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que .

b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que :

Exercice 3

Soit ABC un triangle .
a) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que   soit colinéaire à 

b) Déterminer la nature de l’ensemble des points M tels que

Exercice 4

A, B, C et D sont quatre points distincts.
On note K le barycentre de (A,3)(B,1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 5

Soit ABCD un parallélogramme de centre O, G le barycentre de (A,2)(B,1) et H le barycentre de (C,2)(D,1).
a) Montrer que les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes.
b) Soit E le barycentre de (G,3)(D,1). Montrer que E est le milieu de [AO].

Exercice 6

1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .

3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .

4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .

Exercice 7

1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que

2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que

3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que

4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que

Exercice 8

Soit R un repère orthonormé du plan .

1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnees, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .

2. On note l’ensemble des points M du plan tels que .

Déterminer l’équation de l’ensemble .

2. On note l’ensemble des points M du plan tels que .

Déterminer l’équation de l’ensemble .

Exercice 9 – Ensemble de points

0. Dans un repère orthonormé  du plan,
placer les points A(– 2 ; 0), B(4 ; 0), C(2 ; 4) et D(0 ; 4).

1. Démontrer que ABCD est un trapèze isocèle.

2. Déterminer les réels  et  tels que O soit le barycentre de (A ; ) (B ; 1) (C ; 1) (D ; ) .

3. Soit I le milieu de [BC] et G le point tel que  .

a. Déterminer des réels a et b tels que G soit le barycentre de (A ; a) (D ; b).

b. Démontrer que G, O et I sont alignés. Préciser la position de O sur [GI].

4.
a. Déterminer et construire l’ensemble  des points M du plan tels que

 .

b. Justifier que O appartient à  .

5.
a. Déterminer et construire l’ensemble  Des points M du plan tels que :

b. Justifier que B et D appartiennent à .

Exercice 10 – Carré et parallélogramme
ABC est un triangle de sens direct.

DBA est un triangle isocèle et rectangle en D de sens direct.

ACE est un triangle isocèle et rectangle en E de sens direct.

On construit le point L tel que .

1. Faire une figure.

2. Démontrer que EDL est un triangle rectangle isocèle en E de sens direct. .

Exercice 11 – Extrait du baccalauréat S  sur le barycentre

On considère un triangle ABC du plan .

1.a. Déterminer et construire le point G, barycentre du système de points pondérés :

.

b. Déterminer et construire le point G’, barycentre du système de points pondérés :

.

2.a. Soit J le milieu de [AB].

Exprimer et en fonction de et et en déduire l’intersection des droites (GG’) et (AB) .

b. Montrer que le barycentre I du système de points pondérés :

appartient à (GG’) .

3. Soit D un point quelconque du plan et O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA] .

a. Déterminer trois réels a, b, c tels que K soit le barycentre du système de points pondérés :

.

b. Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).

Déterminer les réels a’ et c’ tels que X soit barycentre du système de points pondérés :

.