Arithmétique : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

L’arithmétique à travers des exercices de maths en terminale corrigés pour les élèves suivants l’enseignement de spécialité. Vous trouverez les différentes propriétés du cours à appliquer ainsi que le théorème de Gauss et le théorème de Bézout.

Exercice 1 – Arithmétique en terminale

1-Etablir que pour tout $(a,b,q)\in \mathbb{Z}^3 ,pgcd(a,b) = pgcd(b,a-bq)$
2-Montrer que pour tout $n\in \mathbb{Z} , pgcd(5n^ 3 -n,n+2) = pgcd(n+2,38)$

Exercice 2 – Démontrer qu’un entier est divisible par 3

n designe un nombre entier naturel.
Demontrer que n(n+2)(n+4) est divisible par 3.

Exercice 3 – Démontrer la propriété suivante :

Soit a et b deux entiers naturels non nuls, alors on a :
PGCD(a ;b)×PPCM(a ;b) = a × b.

On admettra la propriété suivante :

Si a’ et b’ sont deux entiers naturels premiers entre eux alors PPCM(a’ ;b’) = a’×b’.

Exercice 4 – Système d’équations
Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ , le système :
$\left \{ a^2-b^2=405\\3\times ppcm(a;b)=ab \right.$

Exercice 5 – Montrer qu’un entier n’est jamais un nombre premier

On désigne par a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.
1) Développer le carré $(a^2+2b^2)^2$ .
2) En déduire que l’entier naturel $a^4+4b^4$ n’est jamais un nombre premier.

Exercice 6 – Congruences

Exercice 7 – Différence de cube
1. Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ ,on a $(x^3-y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ .
2. résoudre l’équation $x^3-y^3=127$ où les inconnues sont des entiers naturels .

Exercice 8 – Théorème de la division euclidienne dans Z
On note $a\in\mathbb{Z}\,,\,b\in\mathbb{Z}^*$ .
D’après le théorème de la divison euclidienne dans $\mathbb{Z}$ ,
il existe $q\in\mathbb{Z}$ et $r\in\mathbb{N}$ tels que :
$a=bq+r\,et\,0\leq r\leq \left | b \right |$ .
Démontrer que le couple (q,r) est unique .

Exercice 9 – Problème sur les racines carrées
On note $n\in\mathbb{N}^*$ tel que n soit le carré d’aucun entier.
Rappel : tout entier naturel admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers .
On suppose que $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$ et donc qu’il existe $p\in \mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$
tels que $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$ avec pgcd(p,q)=1.
1. Exprimer $p^2$ en fonction de $n$ et $q$ .
2. Que peut-on dire des exposants des facteurs premiers figurant dans la décomposition de $n$ ?
3. Conclure .
4. Démontrer par l’absurde que $\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$ .

Exercice 10 – Somme à calculer
On note $x\in \mathbb{R}\setminus \{\left \,-1,1 \right \}$ .
Démontrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on a :
$\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{{x^2}^k+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}$ .

Exercice 11 – Calcul d’une somme
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ ,
on a $\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk=\frac{(-1)^n(2n+1)-1}{4}$ .

Exercice 12 – Puissance, arithmétique et raisonnement par récurrence
On note x un réel positif .
Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ , on a $(1+x)^n\geq 1+nx$ .

Exercice 13 – Contraposée et raisonnement par récurrence
On note $n\in \mathbb{N}^*$ .
Le but de cet exercice est de montrer par contraposition la propriété suivante :
Si l’entier $n^2-1$ n’est pas divisible par 8 alors l’entier n est pair .
1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente .
2. En remarquant qu’un entier impair n s’écrit sous la forme $n=4k+r$
avec $k \in \mathbb{N}$ et $r \in \left \{1,2,3 \right \}$ ( à justifier).Prouver la contraposée .
3. Que peut-on en déduire ?

Exercice 14 – Multiple d’un nombre
Montrer que, pour tout entier $n\geq 0$ , $n^3-n$ est un multiple de 3 .

Exercice 15 -Raisonnement par récurrence
1. Développer, réduire et ordonner $(n+1)^5$ .
2. En déduire que pour tout entier $n\geq 0$ , $n^5-n$ est un multpile de 5 .

Exercice 16 -Somme des cubes
1. Montrer que $\forall n\in \mathbb{N}^*\,,\,S=\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ .
2. En déduire la valeur de $A=1^3+2^3+3^3+...+10^3$ .

Exercice 17 -Multiple d’un nombre
Montrer que pour tout entier $n\geqslant 0\,,\,n^3-n$ est un multiple de 3.

Exercice 18 -Bac s spécialité et arithmétique
Soit n un entier naturel .
1. trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de $5^n$ par 13 .
2. En déduire que $1981^{1981}-5$ est divisible par 13.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre $N=31^{4n+1}+18^{4n-1}$ est divisible par 13 .

Exercice 19 – Problème sur l’arithmétique

Soit n un entier relatif et . Montrer que a est divisible par 3.

Exercice 20
Soit n un entier naturel
Montrer que

Exercice 21
Soit p un nombre entier naturel impair. Montrer que la somme de p entiers naturels consécutifs est un multiple de p.

Exercice 22
Indice : Théorème de Bézout
Soit x un réel. Montrer que si et sont des nombres rationnels, alors x l’est également.

Exercice 23
Indice: Lemme de Gauss
Résoudre dans N* l’équation :

Exercice 24
Soit n un entier naturel

Exercice 25 – Nombres de Mersenne
Soit n un entier naturel non nul.
On considère les nombre de la forme : dits nombres de Mersenne.
1. Montrer que sont des nombres premiers.
2. Montrer que si p est un diviseur de n, alors est divisible par .
En déduire que si est un nombre premier alors n l’est également.
3. Etudier la réciproque.

Exercice 26
Trouver tous les couples (a,b) d’entiers naturels vérifiant : ppcm(a,b) = 40 et a+b=60

Exercice 27
Soit a et b deux entiers naturels.
Montrer que si pgcd(a,b) = 1 alors pgcd(a,b²) = 1

Exercice 28
Soit n un entier naturel impair,
Montrer que parmi (n-1)²+1 entiers, il en existe n dont la somme est un multiple de n.

Exercice 29
Soit n un entier naturel
1. Démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par (n+1)
2. Déterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1
3. En déduire que pour tout entier naturel n, 3n²+15n+19 n’est pas divisible par n²+3n+2.

Exercice 30 – Nombres de Fermat .
Soit n un entier naturel .
a. Montrer que si est premier, alors n est une puissance de 2
b. On pose (nombres de Fermat). Montrer que les sont deux à deux premiers entre eux.

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