Exercice 1 :

Déterminer dans chaque cas .

1. 

Il n’y a pas de forme indéterminée.

En  , le numérateur est majoré par 2 et minoré par 0 et le dénominateur tend vers 

donc 

2. 

Il n’y a pas de forme indéterminée ici le sinus est borné entre – 1 et + 1

donc 

Exercice 2 :

Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier les limites de f aux bornes de D.

Il faut que   et 

ce qui revient à   et  

Conclusion :    

Exercice 3 :

Déterminer la limite en  et  de :

C’est une fonction rationnelle donc la limite en l’infini correspond au quotient des limites en plus l’infini des termes de plus haut degré.

et de même :

Exercice 4 :

Exercice 5 :

1. La fonction est dérivable sur , et sa dérivée est :

On résout l’équation :

Ainsi, les solutions de l’équation sont et .

2. Pour qu’une tangente à la courbe soit horizontale, il faut que sa pente (c’est-à-dire la valeur de sa dérivée) soit nulle. Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les tangentes horizontales sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire les points de coordonnées où ou . Ces points sont donc et .

3. Les points d’intersection entre et l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation . On a :

Ainsi, les solutions de l’équation sont , et . Les coordonnées de ces points sont donc , et .

4. On veut l’équation de la tangente à en . La pente de cette tangente est donnée par la dérivée de en , c’est-à-dire :

Ainsi, l’équation de la tangente en est de la forme . Comme la tangente passe par le point , on a :

L’équation de la tangente en est donc :

Exercice 6 :

1. Pour étudier les limites de , on peut utiliser la forme indéterminée (pour la limite en ) et la forme indéterminée (pour la limite en ). On a :

On a utilisé ici la règle de de L’Hôpital (en faisant tendre le numérateur et le dénominateur vers l’infini).

Pour la limite en , on a :

La limite en du côté droit est donc égale à .

2. On calcule la dérivée de en utilisant la formule du quotient () :

La dérivée est donc strictement négative pour tout . En effet, le dénominateur est toujours positif, et le numérateur est négatif, donc la fraction est négative.

Exercice 7 :
Déterminer les limites suivantes :

1.
2.
3.
4.

Exercice 8  :
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Exercice 9 :
1.

2.

3.

4.

5.

Exercice 10 :
Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :

1.

2.

3.

Exercice 11 :
Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Elle n’existe pas.

Exercice 12 :
Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.