Exercice 1 :

Résoudre dans  les équations suivantes.

1.  

2. 

Exercice 2 :

Dans cet exercice, on donne :

Calculer la valeur exacte de  puis de 

donc

 

 

 

Indication : pour   , utiliser la formule d’addition   avec   et   .

Exercice 3 :

Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : 

1. Soit . Démontrer que 

2. En déduire que :

Utiliser l’égalité du 1. en prenant 

donc 

 

et en utilisant la donnée de l’énoncé :

Multiplions par la quantité conjuguée et utilisons l’identité remarquable .

 

 

 

 

Conclusion :    

Exercice 4 :

Résoudre dans l’équation : sin(2x) = cos(x).

C’est une équation produit.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

 ou 

Exercice 5 :

Résoudre dans  les équations suivantes :

Indication : faire des changements de variable et utiliser les formules trigonométriques.

Pour la 1, poser X=cosx.

Exercice 6 :

Résoudre dans l’équation :

Posons 

Nous sommes amenés à résoudre :

Une racine évidente est X = 1.

a = 2

-c=8 donc c= -8

c-b=7 donc -8-b=7 ainsi b=-8-7=-15

Donc

Calculons la valeur du discriminant :

Le discriminant est positif, il existe deux racines réelles distinctes.

donc

donc nous obtenons :

or 

donc soit

Conclusion :

Exercice 7 :

1. On peut déterminer les mesures des angles demandés en utilisant les propriétés des triangles rectangles et de l’angle au centre dans un cercle.

Tout d’abord, le triangle ABC est équilatéral, donc chacun de ses angles mesure 60 degrés.

Dans le triangle BCI, on a un angle droit en I et deux côtés de même longueur (BI = CI car le triangle est isocèle en B), donc c’est un triangle rectangle isocèle, ce qui implique que l’angle mesure 45 degrés.

De même, dans le triangle ACJ, on a un angle droit en J et deux côtés de même longueur (AJ = CJ car le triangle est isocèle en J), donc c’est un triangle rectangle isocèle, ce qui implique que l’angle mesure 45 degrés.

Pour déterminer l’angle , on peut observer que ce triangle est isocèle en I car AI = IB. On peut également remarquer que ce triangle est inscrit dans le cercle de centre O passant par A, B et I. L’angle \angle AIB mesure donc la moitié de l’angle au centre qui intercepte l’arc AB. Cet arc mesure 60 degrés (car ABC est équilatéral), donc l’angle mesure 30 degrés.

Enfin, pour déterminer l’angle , on peut utiliser la propriété de l’angle inscrit dans un cercle : l’angle mesure la moitié de l’arc BC du cercle circonscrit au triangle ABC. Comme ABC est équilatéral, l’arc BC mesure 60 degrés, donc l’angle mesure 30 degrés.

De même, l’angle mesure la moitié de l’arc BI du cercle circonscrit au triangle BCI. Cet arc mesure 90 degrés (car le triangle est rectangle en I), donc l’angle mesure 45 degrés.

Ainsi, on a :

•   = 60 degrés
•   = 45 degrés
•   = 45 degrés
•   = 30 degrés
•   = 30 degrés
•   = 45 degrés

2. On doit montrer que les points A, I et J sont alignés.

Pour cela, on peut utiliser le fait que dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est également le centre du cercle circonscrit et donc que la droite passant par le milieu de l’hypoténuse et l’angle droit est un diamètre de ce cercle.

Dans le triangle ACJ, on a un angle droit en J et les côtés AJ et CJ sont de même longueur. Par conséquent, le point milieu M de [AC] est également le centre du cercle circonscrit au triangle ACJ. De plus, la droite (JM) est un diamètre de ce cercle.

Dans le triangle BCI, on a un angle droit en I et les côtés BI et CI sont de même longueur. Par conséquent, le point milieu N de [BC] est également le centre du cercle circonscrit au triangle BCI. De plus, la droite (IN) est un diamètre de ce cercle.

Comme ces deux cercles ont le même diamètre (car les côtés BI et CJ sont de même longueur), les droites (JM) et (IN) se coupent en leur milieu K, qui est également le centre de ces cercles.

Mais ce point K est également le milieu de [AJ] et de [CI]. Par conséquent, les points A, I et J sont alignés sur la droite (AK), qui est la droite passant par les milieux de [AJ] et [CI].

Exercice 8 :

Exercice 9 :

On peut utiliser les propriétés du cercle trigonométrique pour déterminer les mesures principales des angles donnés :

1. Pour l’angle , il y a deux façons de trouver une mesure principale :

– On peut diviser l’angle par pour obtenir .

Comme 0 est une mesure principale, on peut donc dire que a pour mesure principale .
– On peut soustraire (ou un multiple de ) de l’angle jusqu’à ce que l’angle obtenu soit entre 0 inclus et 2 exclus.

On a alors , qui est une mesure principale.

Donc, a également pour mesure principale .

2. Pour l’angle , on peut ajouter 2 (ou un multiple de 2) à l’angle jusqu’à ce que l’angle obtenu soit entre – inclus et exclus.

On a alors , qui est une mesure principale. Donc, a pour mesure principale .

3. Pour l’angle , on peut ajouter un multiple de 360 degrés (ou un multiple de 2) à l’angle jusqu’à ce que l’angle obtenu soit entre 0 inclus et 360 degrés exclus (ou entre 0 inclus et 2 exclus). Comme 70 est déjà une mesure entre 0 et 360 degrés, l’angle a pour mesure principale 70 degrés (ou ).

Exercice 10 :

ABC est un triangle avec  .

1. Démontrer que      .

2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .

Indications :

Utiliser les formules d’Al-Kashi et le théorème de Pythagore généralisé.

Exercice 11 :

Démontrer que la représentation graphique de la fonction définie sur  par :

est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1 .

Tout cela vient du fait que   et  .

Il suffit d’additionner chaque membre .

Exercice 12 :

Démontrer que, pour tout réel  :

Utilisons l’identité remarquable  

   car    et 

Conclusion :   

Exercice 13 :

En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de 

Exercice 14 :

Soit ABC un triangle quelconque.

Dans les triangles AEB et BEC rectangles en E ,

en appliquant le théorème de Pythagore :

donc par égalité, nous en déduisons que :

    (*)

Dans le triangle AEB rectangle en E, en utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle :

donc

Reprenons l’égalité  (*)

Remarque : ce sont les mêmes démonstrations pour les autres formules d’Al-Kashi,

que l’on appelle également formules de Pythagore généralisées.

 

 

Exercice 15 :

Exercice 16 :

On peut utiliser la formule de l’angle orienté entre deux vecteurs pour calculer la mesure principale de :

En utilisant les données fournies, on peut écrire :

En substituant ces valeurs dans la formule de l’angle orienté, on obtient :

Comme cette mesure n’est pas comprise entre -\pi et \pi, on doit la ramener dans cette intervalle en ajoutant ou soustrayant un multiple de 2\pi. On peut écrire :

Donc, la mesure principale de est  ou .

Exercice 17 :

1. On peut utiliser la loi des sinus pour trouver :

En substituant les valeurs définies, on a :

En résolvant pour AB et AC, on obtient :

et

En remplaçant dans la première équation de la loi des sinus, on trouve :

Donc,

Puisque A appartient à l’intervalle [0, \pi], alors est positif.

Ainsi,

2. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AB :

On peut utiliser le même théorème de Pythagore pour trouver la longueur de AC :

3. L’aire du triangle ABC est donnée par la formule :

Exercice 18 :

On peut utiliser la formule de l’aire d’un triangle pour trouver la longueur du troisième côté a = BC :

Donc, .

Comme est compris entre 0 et 1, alors il existe un unique angle A tel que .

On peut utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté :

Donc, la seule longueur possible pour le troisième côté est .

Exercice 19 :

On peut utiliser la loi des cosinus pour trouver la longueur du troisième côté BC :

Donc, .

On peut utiliser la loi des sinus pour trouver :

Exercice 20 :

Soient et deux angles supplémentaires. Cela signifie que . Alors, on peut écrire :

En effet,

Maintenant, pour démontrer la formule de l’aire du quadrilatère ABCD, on peut diviser le quadrilatère en deux triangles en traçant la diagonale AC. Alors, on peut écrire :

où  et .

Donc, .

Mais on sait que les angles BAC et DAC sont supplémentaires, donc on peut utiliser la relation démontrée au début pour écrire :

Donc,

, où est l’angle formé par les diagonales AC et BD.

Exercice 21 :

Le promeneur forme un triangle isocèle avec son point de départ et le point où il a fini de marcher. La première étape de son trajet forme un côté est de ce triangle, la deuxième étape forme un côté nord-est, et la ligne droite qu’il prend pour revenir forme la base de ce triangle.

On peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de chaque côté de ce triangle :

côté est : 5 km
côté nord-est :
base :

La distance totale parcourue en courant pour rentrer au point de départ est donc de 2 fois la base :

distance parcourue =

Cette valeur approchée à 0,01 km près est environ 15,46 km.

Exercice 22 :

Dans un triangle ABC, le théorème de Pythagore donne :

– si ABC est rectangle en A alors AB² = AC² + BC²

– si AB² = AC² + BC² alors le triangle ABC est rectangle en A ou B ou C.

Dans le cas où ABC est rectangle en A, on a donc :

or, dans un triangle, la somme des carrés des sinus des angles est égale à 2 (identité remarquable) :

donc :

De même, en utilisant le théorème de Pythagore pour les côtés AC et AB, on trouve :

donc :

En remplaçant ces expressions dans celle à démontrer :

On a donc bien démontré que si ABC est un triangle rectangle en A, alors .

Réciproquement, supposons que .

On a dans un triangle :

soit :

soit :

or, dans un triangle rectangle en A, on a :

donc :

d’où :

et donc :

si alors l’angle et l’angle sont égaux ou supplémentaires, donc si et sont différents l’un d’eux est droit, donc ABC est rectangle.

Sinon, on a ,

alors l’angle et l’angle sont supplémentaires, donc l’un d’eux est droit, donc ABC est rectangle.

Ainsi, si , alors ABC est un triangle rectangle en A.

EXERCICE 23 :

1) On a :

Donc g est une fonction paire, ce qui signifie que son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2) On a :

Donc g est une fonction -périodique, c’est-à-dire que son graphe se répète tous les .

EXERCICE 24 :

1) On a :

Donc g n’est ni paire ni impaire.

2) On a :

Donc g est une fonction -périodique, c’est-à-dire que son graphe se répète tous les .

3) On remarque que :

Donc en ajoutant les deux inégalités, on obtient :

Donc pour tout réel x, .

EXERCICE 25 :

1) On a , donc .

De plus, .

2) On a .

De plus,.

EXERCICE 26 :

1) On a   lorsque ou (car cos est positif sur et est l’une des valeurs que peut prendre cos à ces deux angles).

2) On a lorsque ou (car sin est positif sur et est l’une des valeurs que peut prendre sin à ces deux angles).

EXERCICE 27 :

1. Les abscisses des points A et B sont respectivement et .

2. Les solutions sur de l’équation sont et .

3. Les solutions sur de l’inéquation sont .

EXERCICE 28 :

a) On a pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec T=1.

b) On a pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec .

c) On a pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec .

d) On a pour tout réel x, donc f est bien T-périodique avec .

EXERCICE 29 :

1.a) On a , donc x=-\frac{\pi}{4}.

b)

et .

2.a) .

b) .

3.a) , donc .

b) , donc .

EXERCICE 30 :

1.a) Comme f est définie sur , on a .

b) En résolvant l’équation , on trouve et.

c) Les solutions sur [-1,1] de l’équation sont et .

d) En utilisant le fait que cos(x)=X, on en déduit les solutions de l’équation f(x)=0 sur : et pour .

2. Les solutions sur [-1,1] de l’inéquation sont

.

En utilisant le fait que , on en déduit les solutions de l’inéquation sur :

.

EXERCICE 31 :

1. Le disque tourne 33 tours et de tour par minute, donc il tourne pendant .

Chaque chanson a donc une durée de min.

Le saphir se trouvera donc sur le demi-axe négatif à la fin de chaque chanson, c’est-à-dire après une durée de min.

2. Le disque tourne 16 tours et de tour par minute, donc il tourne pendant .

Chaque chanson a donc une durée de.

a) Après 3 min=180 s, le saphir aura parcouru un angle de .

Il se trouvera donc sur le demi-axe positif.

b) Après 4 min=240 s, le saphir aura parcouru un angle de .

Il se trouvera donc sur le demi-axe négatif.

c) A la fin de la première chanson, le saphir aura parcouru un angle de .

Il reviendra donc à la position de départ sur le demi-axe positif.

d) A la fin de la deuxième chanson, le saphir aura parcouru un angle de . Il se trouvera donc sur le demi-axe négatif.

EXERCICE 32 :

1. La fonction cos est paire et -périodique, donc la fonction f est également paire et -périodique. Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et qu’elle se répète identiquement tous les .

2. Comme f est -périodique, il suffit d’étudier la fonction sur un intervalle de longueur .

Le plus petit intervalle possible est donc .

3. a) La fonction f’ est définie et dérivable sur tout , sauf en les points où (ce qui n’a pas de sens).

Sur les autres points, on a

.

Comme , on a si et si .

b) Les extrema locaux de f sont les points où ou n’est pas dérivable.

Les points où f est pas dérivable sont les points où , qui n’existent pas. Donc les seuls points où f'(x)=0 sont les points où sin(x)=0, c’est-à-dire les multiples entiers de \pi.

c) Sur l’intervalle , f est décroissante sur et croissante sur .

Le minimum de f est donc atteint en , où , et le maximum est atteint en x=0, où .

Pour tracer la courbe de f sur , on peut se baser sur la périodicité de f : f est -périodique donc il suffit de tracer la courbe sur un intervalle de longueur et de la répéter ensuite identiquement sur chaque intervalle de même longueur.

On peut donc tracer la courbe de f sur et ensuite représenter cette courbe sur chaque intervalle en la décalant horizontalement de .

EXERCICE 33 :

1. La fonction cos est paire, donc la fonction f est également paire et -périodique.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et qu’elle se répète identiquement tous les .

2. La fonction f’ est définie et dérivable sur tout .

Sur cet intervalle, f’ est positive si , c’est-à-dire si , et négative si , c’est-à-dire si .

Donc f est croissante sur et décroissante sur .

3. Sur l’intervalle , f est décroissante sur et croissante sur . Le minimum de f est donc atteint en , où , et le maximum est atteint en et en , où .

Ensuite, on peut dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle en répétant le tableau sur chaque intervalle et en décalant horizontalement en cela pour chaque table.

EXERCICE 34 :

1. Puisque pour tout x, on a , donc les solutions de l’équation sont dans l’intervalle [-1,1].

2. La fonction f est définie et dérivable sur [-1,1], donc elle est continue sur cet intervalle.

Puisque et , la courbe de f rencontre l’axe des abscisses au moins une fois dans l’intervalle .

On peut conjecturer que l’équation cos(x)=-x admet une unique solution dans cet intervalle, qui correspond à l’abscisse de l’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses.

b) f'(x)=-sin(x)+1, donc f'(x) est positive si sin(x)<1, c’est-à-dire si , et négative si , c’est-à-dire si .

Donc f est croissante sur [-1,0] et décroissante sur [0,1].

c) En partant du tableau de variations de , on peut en déduire le tableau de variations de f sur [-1,1]. Puisque la fonction est croissante sur [-1,0] et décroissante sur [0,1], elle admet un unique zéro sur l’intervalle [0,1], correspondant donc à l’unique solution de l’équation dans l’intervalle [-1,1].

d) A l’aide d’une calculatrice, on obtient une valeur approchée de la solution de l’équation dans l’intervalle [-1,1] : .

EXERCICE 35 :

1. La lentille parcourt un angle de 360° en 5 secondes, donc elle parcourt un angle de en 1 seconde.

2. L’aire balayée par la lentille en 1 seconde est proportionnelle à l’angle parcouru en 1 seconde, donc elle vaut .

EXERCICE 36 :

1. La fonction cos est paire, donc pour tout réel x, on a . La fonction est donc paire.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentative de est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2. Pour tout réel x, on a .

La fonction est donc périodique de période .

3. Puisque cos(x) est périodique de période , la fonction est périodique de période .

On peut donc se limiter à étudier sur l’intervalle, c’est-à-dire sur l’intervalle si on se restreint aux valeurs positives de x.

4. a) La fonction est définie et dérivable sur tout , donc elle est continue sur tout .

Puisque le sin est positif sur , on a sur cet intervalle.

b) D’après le tableau de variations de , la fonction est décroissante sur .

c) Si admet un maximum en 0 et une valeur minimale en, qui sont respectivement et .

Par ailleurs, si on considère la périodicité de de période , on peut recopier le tableau de variation sur l’intervalle sur chaque intervalle de la forme , en le décalant horizontalement de .

EXERCICE 37 :

1. Le sens « O » se situe à gauche de l’axe des ordonnées.

Comme l’axe des abscisses correspond au sens « E » et que le sens « S » est dirigé vers le bas, le sens « O » est dirigé vers la gauche et en bas.

Cela correspond donc à un réel négatif qui est plus grand que .

Par exemple, on peut prendre .

2. Le sens « S » est dirigé vers le bas de l’axe des ordonnées. Comme le sens « N » correspond à , cela correspond donc à un réel négatif.

Comme le sens « S » est à mi-chemin entre le sens « E » et le sens « O », cela correspond donc à un réel qui est le milieu entre 0 et .

On a donc .

3. Le sens « NE » fait un angle de avec l’axe des abscisses. Cela correspond donc au réel .

4. a) Le sens « NNE » fait un angle de avec l’axe des abscisses. Cela correspond donc au réel .

b) Par symétrie, le sens « SSE » correspond à un angle de avec l’axe des abscisses, donc cela correspond au réel –.

c) Par symétrie, le sens « NNO » correspond à un angle de avec l’axe des abscisses mais du côté gauche de l’axe des ordonnées (puisque c’est le symétrique du sens « NE » par rapport à l’axe des ordonnées).

Cela correspond donc à l’opposé du réel , c’est-à-dire .

EXERCICE 38 :

EXERCICE 39 :

EXERCICE 40 :
Désolé, il n’y a pas de données à partir desquelles résoudre un exercice.

EXERCICE 41 :
1. En utilisant les coordonnées des points M et N, on obtient un système d’équations à deux inconnues a et b :

En résolvant ce système, on trouve et .

2. En utilisant les valeurs de a et b obtenues, on peut écrire :

3. Pour montrer que f est -périodique, on peut calculer et vérifier qu’on obtient la même expression que .

En effectuant les calculs, on obtient :

Ceci signifie que si on trace la courbe représentative de f sur un intervalle , on pourra la décaler de 2\pi pour obtenir la courbe sur l’intervalle , et ainsi de suite.

4. Pour déterminer si f est paire ou impaire, il faut vérifier si (cas d’une fonction paire) ou (cas d’une fonction impaire).

En remplaçant x par -x dans l’expression de f, on obtient :

On constate que est différent de et de , donc f n’est ni paire ni impaire.