Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

I. Représentations paramétriques d’une droite.

 est un repère orthonormé de l’espace.

1.Principe.

Soit (d) la droite qui passe par le point A de coordonnées et qui
admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées (a ; b ; c).
Dire qu’un point M de coordonnées appartient à (d), équivaut à dire
que les vecteurs et sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel t tel
que , autrement dit tel que :

(d) est la droite qui passe par le point et de vecteur directeur ;
Une représentation paramétrique de d est

2. Utiliser une représentation paramétrique.

On reprend l’exemple du paragraphe 1 .
• Le point (obtenu pour ) appartient à (d), donc une autre représentation paramétrique de (d) est :

  .

• Le vecteur est un autre vecteur directeur de (d), donc une autre représentation paramétrique de (d) est  :

  .

Par un raisonnement analogue à celui du paragraphe 1, on obtient une représentation paramétrique d’un plan à partir d’un de ses points et d’un couple de vecteurs non colinéaires de ce plan.

II. Équations cartésiennes d’un plan.

1. Vecteur normal à un plan.

Dire qu’un vecteur non nul est normal à un plan signifie que
toute droite de vecteur directeur est orthogonale au plan .

A est un point de l’espace et  est un vecteur non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tels que est le plan passant par A et de vecteur normal .

On note B le point distinct de A tel que et H le projeté orthogonal d’un point M sur la droite (AB).

Avec ces notations :

Ainsi si, et seulement si, , c’est-à-dire A = H car les vecteurs

et sont colinéaires.

Autrement dit, si, et seulement si, A est le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).
L’ensemble cherché est donc le plan passant par A et orthogonal à (AB).

2. Équations cartésiennes d’un plan.

L’espace est muni d’un repère orthonormé.
1. Un plan de vecteur normal a une équation de la forme , où d désigne
un nombre réel.On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
2.  Réciproquement, a, b, c et d étant quatre nombres réels donnés avec a, b et c non tous nuls, l’ensemble des points tels que est un plan de vecteur normal .

1. Un point appartient au plan passant par et de

vecteur normal si, et seulement si, , c’est-à-dire ;

.

En posant , on obtient .

2. est l’ensemble des points qui vérifie

où a, b et c sont des nombres réels non tous nuls.

On peut supposer, par exemple, .

Le point est alors un point de et l’équation équivaut à ,

c’est-à-dire

avec .

est donc le plan passant par A et de vecteur normal .

3. Cas particuliers des plans (xOy), (yOz) et (xOz).

• Le plan passe par l’origine du repère et le vecteur est un vecteur normal à ce plan.
Ainsi, une équation cartésienne du plan est de la forme .
Or, appartient à donc et .
Ainsi, une équation cartésienne du plan est .

• De même, le plan a pour équation cartésienne et le plan a pour équation cartésienne .

III. Traduire un problème par un système d’équations linéaires.

1. Déterminer l’intersection de deux droites.

Dans un repère orthonormé, on se propose de démontrer que les droites (d) et (d’) de représentations paramétriques respectives :

   et        sont sécantes.

Les droites (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, le système ci-dessous de six équations
à cinq inconnues a une seule solution.

Autrement dit, (d) et (d’) sont sécantes si, et seulement si, il existe un unique couple tel que :

c’est-à-dire

Pour résoudre ce système (T) de trois équations à deux inconnues, on commence par résoudre un système formé par deux de ces équations, par exemple (1) et (2) comme ci-dessous.

Ce système ayant un seul couple solution, on vérifie qu’il est aussi solution de (3).
On conclut que ce couple est solution de (T).

•  Par addition membre à membre des équations (1) et (2), on obtient soit .
• On remplace t par 4 dans l’équation (1), on obtient
soit .
• On vérifie que les valeurs de t et t’ obtenues sont solutions de l’équation (3) :

.

• On remplace t par 4 dans le système (S) ou par dans et on obtient les coordonnées du point d’intersection de (d) et (d’) : .

Il est important de noter l’utilité d’avoir nommé différemment les paramètres t et t’. En effet, le
point commun M à (d) et (d’) est atteint sur (d) pour , alors qu’il est atteint sur (d’) pour .

2. Étudier l’intersection d’une droite et d’un plan.

Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation cartésienne
et la droite pour représentation paramétrique :

On se propose d’étudier l’intersection du plan et de la droite .
Pour cela, on résout le système ci-dessous de quatre équations à quatre inconnues .

Ce système équivaut à :

   c’est-à-dire 

Or, la quatrième équation n’a pas de solution donc le système (S) n’a pas de solution.

La droite (d) et le plan n’ont pas de point commun, donc (d) est strictement parallèle à .