PGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale spécialité en PDF.
Mis à jour le 23 août 2025
I. Le plus grand commun diviseur ( PGCD )
1.Le PGCD de deux entiers naturels
Par convention, lorsqu’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours de diviseurs positifs.
l’ensemble de ses diviseurs.
, 
.
contient toujours 1 et a.
Lorsque 
, le plus grand élément de est a.
l’ensemble des diviseurs communs à a et b.
L’ensemble est non vide : il contient toujours 1.
De plus, tous les nombres qu’il contient sont inférieurs ou égaux à a et b.
Donc a un plus grand élément appelé le plus grand commun diviseur et noté le PGCD de a et b.
Exemple :
a et b sont deux entiers naturels.Le Plus Grand Commun Diviseur à a et b est noté 
.
Si b divise a alors pgcd(a,b)=b.En effet, tout diviseur de b est un diviseur de a donc 
.
Comme b est le plus grand élément de 
, alors b est le .
2.Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.
a et b sont deux entiers naturels non nuls, a>b .Lorsque b ne divise pas a, pour déterminer le , on utilise l’algorithme d’Euclide.
Base de l’algorithme d’Euclide :
a et b sont deux entiers naturels non nuls tel que la division euclidienne de a par b se traduise par 
avec 
.Alors 
ce qui entraîne que 
.
Algorithme d’Euclide :
On définit ainsi une suite 
telle que 
.
Cette suite est une suite décroissante et strictement positive d’entiers naturels.Donc c’est une suite finie et il existe un entier n tel que 
et 
.
Or, signifie que 
divise 
, d’où :
est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.a et b sont deux entiers naturels non nuls.
- L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de .
- Quel que soit l’entier c>0,
.
3.Nombres premiers entre eux.
Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.
a et b sont deux entiers naturels non nuls
est le équivaut à il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels que :
, 
et 
.
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