Limites et asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

Les limites (somme, produit, quotient) dans un cours de maths en terminale avec l’étude des formes indéterminées.

Dans cette leçon, nous mènerons une études des asymptotes horizontales, verticales et obliques en terminale pour l’enseignement obligatoire.
Connaissances nécessaires à ce chapitre :
$\star$ Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique.
$\star$ Étudier la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient
de deux suites.
$\star$ Utiliser un théorème de comparaison ou d’encadrement
pour déterminer une limite de suite.
$\star$ Établir (par dérivation ou non) les variations d’une fonction.

I.Limite d’une fonction en l’infini

Dans toute cette partie, $C_f$ désigne la courbe représentative de la fonction f dans un repère quelconque du plan.

1. Limite finie en l’infini

Définition :

Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a ; +\infty[$ .
La fonction f a pour limite ℓ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les
valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $limites de fonctions$ .

Exemple :

Soit f la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f (x) =\frac{1}{x}+ 1$ . On a $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{x}+1 \right ) = 1$ .
En effet, l’inverse de x se rapproche de 0 à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert I tel que $1\in I$ . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, aussi étroite que soit une bande parallèle à la droite d’équation y = 1 et qui la
contient, il existe toujours une valeur de x au delà de laquelle $C_f$ ne sort plus de cette bande.

Limite de fonctions

Asymptote horizontale.

La droite d’équation y = ℓ est asymptote horizontale à $C_f$ en $+\infty$ si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f (x) = l$ .

Remarque :

On définit de façon analogue $\lim_{x\rightarrow -\infty}f (x) = l$ qui caractérise une asymptote horizontale à $C_f$ en $-\infty$ d’équation y = ℓ.

Exemple :

On a vu précédemment que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{x}+1 \right ) = 1$ . On a aussi $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left ( \frac{1}{x}+1 \right ) = 1$ .
Donc, la droite d’équation y = 1 est asymptote horizontale à la courbe $C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en ± $\infty$ .

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x^n}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^n}=0$ .

II. Limite infinie en l’infini

Définition :

La fonction f a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]a ; +\infty[$ contient
toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand. On note alors : $\lim_{x\rightarrow +\infty}f (x) = +\infty$ .

Exemple :

Soit f la fonction racine carrée. On a $\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ .
En effet, $\sqrt{x}$ devient aussi grand que l’on veut à mesure que x augmente.
Soit un intervalle ouvert $I =]a ; +\infty[$ . Alors, f (x) sera toujours dans I pour x assez grand.
Graphiquement, si on considère le demi-plan supérieur de frontière une droite d’équation
y = a, il existe toujours une valeur de a au-delà de laquelle $C_f$ ne sort plus de ce demi-plan.

Courbe de fonction racine carrée.

Propriété (admise) : limites infinies des fonctions usuelles en ± $\infty$ .

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}x^n=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n=0 (+\infty\, si\, n\,pair ; -\infty\,si\, n\,impair ).$

2. Limite infinie en un réel

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ du type $]x_0 -\varepsilon ; x_0[$ ou $]x_0 ; x_0+\varepsilon[$ .
La fonction f a pour limite $+\infty$ en $x_0$ si tout intervalle de $\mathbb{R}$ du type $]A ; +\infty[$ contient toutes
les valeurs de f (x) pour x assez proche de $x_0$ . On note alors : $\lim_{x\rightarrow x_0}f (x) = +\infty$ .

Définition : asymptote verticale.

La droite d’équation $x=x_0$ est asymptote verticale à $C_f$ si $\lim_{x\rightarrow x_0}f (x) = +\infty$ ou $\lim_{x\rightarrow x_0}f (x) = -\infty$ .

Propriété (admise) : limites finies des fonctions usuelles en 0.

Soit n un entier naturel non nul.
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x^n}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{x^n}=0 (+\infty\, si\, n\,pair ; -\infty\,si\, n\,impair ).$

III. Opérations sur les limites.

Propriété : limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient de deux fonctions.

IV. Limite d’une fonction composée

1. Fonction composée

Définition :

Soit f une fonction définie sur E et à valeurs dans F, et soit g une fonction définie sur F.
La composée de f suivie de g est la fonction notée $g o f$ définie sur E par $g o f (x) = g( f (x))$ .

Remarque :

Il ne faut pas confondre $g o f$ et $fo g$ qui sont, en général, différentes.

2. Théorème de composition des limites

Théorème :

Soit h la composée de la fonction f suivie de g et a, b et c trois réels ou ± $\infty$ .
Si $\lim_{x\rightarrow a}f (x) = b$ et $\lim_{x\rightarrow b}g (x) = c$ , alors $\lim_{x\rightarrow a}h (x) = c$ .

V. Limites et comparaison

1. Théorème de comparaison

Théorème :

2. Théorème d’encadrement dit « des gendarmes » ou « sandwich ».

Théorème :

Soit deux réels a et ℓ et trois fonctions f , g et h telles que, pour x > a, on a $f (x) \leq g(x) \leq h(x)$ .
Si $\lim_{x\rightarrow +\infty}f (x) =\lim_{x\rightarrow +\infty}h (x) = l$ , alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}g (x) =l$ .

Remarque :

On a, comme pour le théorème de comparaison précédent, deux théorèmes
analogues lorsque x tend vers − $\infty$ et lorsque x tend vers un réel $x_0$ .

Exemple :

Déterminons la limite en − $\infty$ de $f (x) = \frac{x cos x }{x^2 + 1}$ .
La limite de cos x en − $\infty$ est indéterminée. Donc celle de f (x) aussi.
Cependant pour tout x réel strictement négatif, $-1 \leq cos x \leq 1$ donc $x \leq x cos x \leq -x$ .
Et en divisant membre à membre par $x^2 + 1 > 0$ on a :
$\frac{x}{x^2+1}\leq \frac{x cos x}{x^2+1}\leq \frac{-x}{x^2+1}$ .

Pour $x \in R ^*$ , $\frac{x}{x^2 + 1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$ .

Or, $\lim_{x\rightarrow -\infty}x+\frac{1}{x}=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{x^2 + 1}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{-x}{x^2 + 1}=0$

Donc, d’après le théorème des gendarmes, $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x cos x }{x^2 + 1}=0$ .