Les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.

Mis à jour le 2 septembre 2025

Sommaire

🧮Cours de Mathématiques

Terminale • Lycée

Les suites numériques

📖 Temps de lecture : 5 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Les suites numériques dans un cours de maths en terminale en enseignement obligatoire.

Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement.

I . Comportement d’une suite numérique :

Définition :

Une suite est une application de l’ensemble $\mathbb{N}$ dans l’ensemble $\mathbb{R}$ .

$\begin{array}{l|rcl} (U_n): \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} \ n \longrightarrow U_n \end{array}$ .

Définitions :

Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est croissante $\Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \le U_{n+1}$ .
Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est décroissante $\Leftrightarrow\,\,\forall n \in \mathbb{N},\,U_n \ge U_{n+1}$ .
Une suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ est monotone signifie qu’elle est soit croissante soit décroissante.

Remarques :

On parle aussi de suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}$ croissante à partir d’un rang $n_0\in\mathbb{N}$ $\Leftrightarrow\,\,\forall n \ge n_0,\,U_n \ge U_{n+1}$
On définit aussi les suites strictement croissantes ou décroissante en remplaçant les inégalités par des inégalités strictes .

Méthode 1 :

Considérons la suite $(U_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n=n^2$ $U_{n+1}-U_n={(n+1)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1>1 .$ (car n est un entier naturel donc positif) donc $U_{n+1}-U_n>0\Leftrightarrow\,\,U_{n+1}>U_n$ donc la suite $(U_n)$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ .

Méthode 2 :

Pour une suite $(U_n)$ à termes strictement positifs : comparer $\frac{U_{n+1}}{U_n} .$ et 1.

Considérons la suite $(U_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\,U_n={exp n}^2$

$\frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{exp (n+1)^2)}{exp n^2}=exp {(n+1)^2-n^2}=exp{n^2+2n+1-n^2}=exp{2n+1} > exp 0$ car la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et 2n+1 >0 .

donc $\frac{U_{n+1}}{U_n}>1$ car $exp 0=1$

ainsi $\frac{U_{n+1}\times U_n}{U_n}\,>1\,\times U_n$

car $(U_n)$ est à termes strictement positifs .

$U_{n+1}> U_n$ donc $(U_n)$ est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ .

Définitions :

Une suite $(U_n)$ est majorée lorsqu’il existe un réel M (un majorant) tel que $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\le\,M$ .
Une suite $(U_n)$ est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n\ge\,M$ .
Une suite $(U_n)$ est bornée lorsqu’elle est majorée et minorée .

Remarques :

Si $(U_n)$ est une suite croissante, alors elle est minorée par son premier terme $U_0$ : $U_0 \le U_1\le U_2 \le .... \le U_n \le ....$
Si $(U_n)$ est une suite décroissante, alors elle est majorée par son premier terme $U_0$ : $U_0 \ge U_1\ge U_2 \ge .... \ge U_n \le ....$

Exemples :

La suite $(U_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1$ est strictement croissante, elle est minorée par 1 par contre, elle n’est pas majorée.
La suite $(V_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4$ est strictement décroissante, majorée par -4, par contre elle n’est pas minorée .
La suite $(W_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n$ est bornée, majorée par 1 et minorée par -1.

Théorème :

Une suite croissante et majorée est convergente .
Une suite décroissante et minorée est convergente .

Théorème :

Toute suite croissante non majorée, diverge vers $+\infty$ .
Tout suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$ .

Exemple :

La suite $(U_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, U_n = exp n + 1$ est strictement croissante, elle n’est pas majorée donc diverge vers $+\infty$ .
La suite $(V_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, V_n = -2n-4$ est strictement décroissante, elle n’est pas minorée donc diverge vers $-\infty$ .
La suite $(W_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}\,,\, W_n = sin n$ est bornée, elle est dite divergente .

Théorème :

Soit $(U_n)$ définie par $U_0$ et $\forall n \,\in\, \mathbb{N}\,\,, U_n=f(U_{n+1}) .$ .

Si $(U_n)$ converge vers $l$ et si f est continue en $l$ alors cette limite $l$ vérifie $f(l)\,=\,l$ .

Exemple :

Considérons $(U_n)$ définie par $U_0=2,5$ et $\forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_{n+1}=\frac{U_n^2}{3}$ .

$(U_n)$ est décroissante et minorée par 0 ( à montrer…).

Donc $(U_n)$ converge vers $l$ d’après le théorème précédent .

Posons $\forall x\,\, \in\,\, \mathbb{R^+},\,\, f(x)=\frac{x^2}{3}$

On est amené à résoudre $f(l)\,=\,l\Longleftrightarrow \frac{l^2}{3}=l\Longleftrightarrow l\times (\frac{l}{3}-1)=0\Longleftrightarrow l=0\,\,ou\,\,l=3$

$\forall n\,\, \in\,\, \mathbb{N},\,\, U_n\le 2,5$

donc $l\neq 0$

d’où

$l= 0=\lim_{n\to +\infty} U_n$

II . Suites adjacentes :

Définition :

Dire que deux suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes signifie que :

L’une est croissante.
L’autre est décroissante.
$\lim_{n \to +\infty} (U_n-V_n)\,=\,0.$

Exemple :

Considérons les deux suites numériques suivantes :

$\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, U_{n+1}=\,\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^2}= \,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\,=\,U_n+\frac{1}{(n+1)^2}$ .

Donc $U_{n+1}-U_n\,=\,\frac{1}{{n+1}^2}>0$

donc $(U_n)$ est croissante .

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}= \,U_{n+1}-U_n-\frac{1}{n(n+1)}$ .

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{1}{{n+1}^2}-\frac{1}{n(n+1)}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,\frac{n}{n(n+1)^2}-\frac{n+1}{n(n+1)^2}$

$\forall n\, \ge 1,\,\, V_{n+1}-V_n=\,U_{n+1}+\frac{1}{n+1}-U_n-\frac{1}{n}=\,-\frac{1}{n(n+1)^2}<0$

donc $(V_n)$ est décroissante .
$V_n\,-\,U_n=\frac{1}{n}$
$\fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\,-\,U_n)=0}$

Conclusion :

Les deux suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes .

Définition :

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers la même limite.

Exemple :

Reprenons notre exemple précédente :

$\forall n\,\ge 1,\,\, U_n=\,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}= \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\,\,\,\,,V_n=U_n+\frac{1}{n}$

Les deux suites $(U_n)$ et $(V_n)$ sont adjacentes donc elles sont convergentes et convergent vers la même limite .

Nous pourrions montrer que :
$\fbox{ \lim_{n\to +\infty} ( V_n\)=\lim_{n\to +\infty} (U_n)=\frac{\pi^2}{6}$

4.4/5 - (22725 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.» au format PDF.

Ressources de terminale

D'autres cours et exercices à consulter

Nombres complexes : cours de maths en terminale en PDF.

Suite de matrices : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

La logique combinatoire : cours de maths en terminale en PDF.

Géométrie dans l’espace : cours de maths en terminale en PDF.

Les équations différentielles : cours de maths en terminale en PDF.

Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

Cours de maths en terminale et spécialité à télécharger en PDF.

Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale en PDF.

Exercices de maths interactifs avec saisie au clavier des réponses.

Maths et programmation dans un escape game.

Exercices de maths avec des patterns pour travailler les automatismes.

SCRATCH Dimension ; exercices de maths et de programmation avec scratch.

Exercices de géométrie sous forme d'escape game.

Calculus Arcana : escape game de calcul littéral.

×12

L'équipe Mathovore

Contenu mis à jour quotidiennement

12 Enseignants Titulaires

Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale, spécialisés en mathématiques en primaire, au collège, au lycée et post-bac.
Notre équipe collaborative enrichit constamment nos ressources pédagogiques.

12 Professeurs

200+ Années cumulées

Quotidien Mise à jour

Nos applications

Téléchargez gratuitement la dernière version de nos applications.

Mathovore c'est 14 122 542 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

Les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.

I . Comportement d’une suite numérique :

II . Suites adjacentes :

Ressources de terminale

Cours de terminale

Exercices de terminale

Baccalauréat

D'autres cours et exercices à consulter

L'équipe Mathovore

12 Enseignants Titulaires

Nos ressources pédagogiques