Les fonctions numériques : cours de maths en 2de en PDF.
I. Définir une fonction numérique :
1. Ensemble R et intervalles :
L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé l’ensemble des nombres réels.
On note l’ensemble de tous ces nombres.
Certaines parties de sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des crochets.
| Ensemble des réels x tels que : | Intervalle | |
| |
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| |
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| |
On définit de la même façon les intervalles ,
et
.
2. Vocabulaire des fonctions numériques :
Définir une fonction sur une partie D de
, c’est associer à tout nombre de D, un nombre unique appelé image du nombre x.
- L’image du nombre x par la fonction
est notée f(x).
- La fonction
- On dit que D est l’ensemble de définition de
- Si f(a)=b, on dit que a est un antécédent de b par f ou que b est l’image de a par
Exemple 1 : Une fonction définie par un graphique.
L’ensemble de définition de f est l’intervalle [- 7;2].
Le nombre – 5 a pour image 2 donc f(- 5 ) = 2.
Exemple 2 : une fonction g définie par un tableau de valeurs.
Le nombre 0 a une seule image 1.
g(-1)=4 et g(3)=4 donc des antécédents de 4 par g sont -1 et 3.
| Nombre x | – 4 | – 1 | 0 | 2 | 3 |
| Image g(x) | 5 | 4 | 1 | 2 | 4 |
Exemple 3 : une fonction h définie par une formule algébrique.
La fonction associe à un nombre réel
quelconque, le nombre
.
L’ensemble de définition de h est .
Pour calculer l’image de – 5, on remplace par – 5 dans l’expression de
:
.
II. Courbes et résolutions graphiques :
1. Courbe représentative d’une fonction :
f est une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la courbe représentative (ou représentation graphique) de f est l’ensemble des points M(x;y) dont:
- l’abscisse x décrit l’ensemble de définition D;
- l’ordonnée y est l’image de x par f.
Autrement dit: M(x;y)
si, et seulement si, x
D et
.
On dit que a pour équation
dans le repère choisi.
Exemple :
est la fonction définie sur
par
.
Voici la courbe représentative de cette fonction :
Le point A(2;0) appartient-il à la courbe ?
oui car .
Le point B(- 2 ; – 7) appartient-il à la courbe ?
Non car .
2. Résolution graphique d’équations :
Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.
a. Equations f(x)=k (avec k un réel) :
Les solutions de l’équation f(x)=k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite y=k.
b. Equations f(x)=g(x)
les solutions de l’équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.
III. Sens de variation et extremums :
f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative Cf dans un repère du plan.
1. Fonction croissante :
Dire que f est croissante sur I signifie que pour tout nombre réel et
de
, si
alors
.
2. Fonction décroissante :
Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tout nombre réel et
de
, si
alors
.
3. Extremum : maximum et minimum.
a. Maximum d’une fonction :
a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I : .
b. Minimum d’une fonction :
a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I : .
On dit que f(a) est un extremum de f sur I pour indiquer que f(a) est un maximum ou un minimum de f sur I.