Les droites remarquables dans le triangle (hauteur, bissectrice, médiatrice etmédiane) à travers un cours de maths en 5ème à télécharger en PDF.
I. Médiatrice d’un segment.
1. Définition de la médiatrice.
Définition :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
2.Construction de la médiatrice d’un segment.
3. Propriétés fondamentale :
Propriété 1 :
Tous les points de la médiatrice sont équidistants des deux extrémités du segment. Réciproquement : tout point M équidistant de deux points B et C est situé sur la médiatrice du segment [BC].
Propriété 2 :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point O appelé centre du cercle circonscrit au triangle.
II. Médiane dans un triangle.
1.Définition de la médiane.
Définition :
La médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
2. Propriétés des médianes d’un triangle.
Propriété 1 :
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé le centre de gravité du triangle.
Propriété 2 :
Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chacune des médianes en partant du sommet. C’est à dire :
III. Hauteur d’un triangle.
1. Définition de la hauteur.
Définition :
Dans un triangle, une hauteur est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
2. Propriété des trois hauteurs d’un triangle.
Propriété :
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle.
IV. Bissectrice dans un triangle.
1.Définition de la bissectrice.
Définition :
Dans un triangle, une bissectrice est une droite qui passe par un sommet et qui partage l’angle correspondant en deux angles de même mesure.
2.Construction de la bissectrice d’un angle :
3. Propriétés :
Propriété 1 :
Un point de la bissectrice d’un angle d’un triangle est situé à égale distance des côtés de cet angle.Réciproquement, si un point est à égale distance de deux côtés d’un triangle alors il est sur la bissectrice de l’angle déterminé par ces deux côtés.
Propriété 2 :
Les trois bissectrices d’un triangles sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit au triangle.
V. La droite d’Euler.
Propriété :
Dans un triangle, les points O (intersection médiatrices), G (intersection des médianes) et H (intersection des hauteurs) sont alignés sur une même droite, cette droite est appelée « droite d’Euler ».
Cas particuliers :
si ABC est un triangle équilatéral alors la droite d’Euler n’existe pas.
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