I.Enoncé du théorème de Bézout :

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note 

 divise a et b donc  divise au + bv.

Comme au + bv  = 1,  = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit  l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec  et .

L’ensemble  n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, .Il en est de même pour b.

Ainsi contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons  ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit  avec 

soit .

Ainsi .Or m est le plus petit entier strictement positif de  donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et .

En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.

Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

 donc .

donc .

 donc .

Soit .

Ainsi  est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD