Théorème de Bézout: cours d'arithmétique en terminale en PDF.

L’arithmétique et le théorème de Bézout dans un cours de maths en terminale spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.

Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que $au + bv = 1$ .

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note $théorème de Bézout$

$\Delta$ divise a et b donc $\Delta$ divise au + bv.

Comme au + bv = 1, $\Delta$ = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit $\varphi$ l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec $u \in \mathbb{Z}$ et $v \in \mathbb{Z}$ .

L’ensemble $\varphi$ n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, $a\in\varphi$ .Il en est de même pour b.

Ainsi $\varphi$ contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons $m=au_1+bv_1$ ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit $a=mq+r$ avec $0\leq r<m$

soit $r=a-mq=a-(au_1+bv_1)q=a(1-u_1q)+b(-v_1q)$ .

Ainsi $r\in\varphi$ .Or m est le plus petit entier strictement positif de $\varphi$ donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et $au_1+bv_1=1$ .

En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.

Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

$89=41\times 2+7$ donc $7=89-2\times 41=a-2b$ .

$41=7\times 5+ 6$ donc $6=41-7\times 5=b-5(a-2b)=11b-5a$ .

$7=6\times 1 +1$ donc $1=7-6=a-2b-11b+5a=6a-13b$ .

Soit $89\times 6 +41\times(-13)=1$ .

Ainsi $(x_0;y_0)=(6;-13)$ est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que $\Delta$ est le $PGCD(a,b)$ équivaut à dire que $\Delta$ est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que $\Delta =au+bv$ .