🧮Cours de Mathématiques
Terminale • Lycée
Le raisonnement par récurrence
📖 Temps de lecture : 5 min
🎯 Niveau : Lycée
📱 Format : Gratuit
📄 PDF : Disponible
Le raisonnement par récurrence dans un cours de maths en terminale et la rédaction de la démonstration.
1.Principe de récurrence et ses axiomes :
Axiome :
Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.
Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;
• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;
Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.
Exemple :
On considère la suite définie par :
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
Soit la propriété de récurrence suivante :
Initialisation :
Montrons que est vraie.
D’après les hypothèses,
Donc vraie .
Hérédité de la propriété :
Supposons qu’il existe un entier tel que
soit vraie.
Montrons que reste vraie .
Comme est vraie.
alors
donc est vraie .
Conclusion :
(
donc d’après le principe de récurrence :