I. Définition de la fonction logarithme népérien :

Pour tout réel  de , il existe un unique réel y tel que .

Remarque :

L’image d’un réel strictement positif x par la fonction ln se note souvent ln x au lieu de ln(x).

Preuve :

(1) et (2) se déduisent directement de la définition.

(3) Pour tout réel x, si y= alors d’après (1)   donc x=y.

Preuve :

ON note  et   les courbes représentatives des fonctions exp et ln.

Dire que  appartient à   équivaut à dire que   appartient à .

 et  sont donc symétriques par rapport à la droite y=x.

II. Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur  :

Preuve :

a et b sont deux réels tels que , c’est à dire que .

La fonction exponentielle est strictement croissante sur  donc .

III. Les propriétés algébriques :

1. Relation fonctionnelle :

Preuve :

a et b sont deux réels strictement positifs.On note A=lnab et B=ln a + ln b alors

 et 

donc  d’où A=B puisque la fonction exponentielle est bijective sur .

2. Logarithme d’un quotient :

Preuve :

Pour a>0, on écrit  donc 

c’est à dire  d’où .

Preuve :

Pour a>0 et b>0, .

3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs :

Remarque :

Cette formule généralise la relation fonctionnelle établie dans le paragraphe 1. et peut se démontrer par récurrence.

Démonstration :

La démonstration de cette propriété se fait par récurrence et sur le signe de n.

4. Logarithme d’une racine carrée :

Preuve :

Pour a>0,  donc 

ainsi 

d’où