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🧮Cours de Mathématiques

1ère • Lycée

La fonction exponentielle

📖 Temps de lecture : 5 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

La fonction exponentielle avec un cours de maths en 1ère où nous étudierons une première approche à l’aide des équations différentielles.

Puis nous verrons les différentes propriétés, les définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction pour les élèves de première.

I . Equation différentielle f ’ = f avec f(0) = 1. :

Définition :

Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.

La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.

Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout réel x :

$f'(x) = f(x)$ .

L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.

Propriété :

S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ alors f ne s’annule pas sur I.

Théorème :

Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ .

C’est la fonction exponentielle, notée $exp$ .

II . Propriétés algébriques :

Théorème : Relation fonctionnelle caractéristique.

La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :

Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)

f’(0) = 1

Propriétés :

Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :

$\exp(-a)=\frac{1}{\exp(a)}$
$\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$
$\exp(n a)=(\exp(a))^n$

Remarque :

Pour tout réel a :

$\exp(a)=\exp(\frac{a}{2}+\frac{a}{2})=\exp(\frac{a}{2}).\exp(\frac{a}{2})=[\exp(\frac{a}{2})]^2>0$

Donc pour tout réel $a$ , $exp(a)>0$ .

Notations :

$\forall n \in \mathbb{N},\, \exp(n)=\exp(n\,\times\,1)=(\exp(1))^n.$

On pose :

$e=\exp(1)\,\, alors\,\,\exp(n)=e^n .$

Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :

$\fbox{\forall x\in \mathbb{R},\,\exp(x)=e^x .}$

Propriétés :

$\forall a, b\in \mathbb{R},$

$\,exp(0)=1.$
$exp(a+b)=exp(a)\times exp(b).$
$exp(-a)=\frac{1}{exp(a)} .$
$exp(na)={[exp(a)]}^n .$
$exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)} .$

III . Etude de la fonction exponentielle.

Théorème :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$ .

Propriétés :

$\forall (x,y)\in\mathbb{R^2}.$

$x=y\Longleftrightarrow exp x =exp y .$
$x<y\Longleftrightarrow exp x <exp y .$

Théorème :

$\lim_{x \to +\infty} exp x=+\infty.$

$\lim_{x \to -\infty} exp x= 0^+.$

Théorème :

$\lim_{x \to 0} \frac{exp x -1}{x}=1.$

$Pour \,\,x \,\,proche\,\, de\,\, 0,\,\,exp x \approx 1+x.$

La fonction x $\mapsto$ 1+x est l’approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

Théorème :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{exp x}{x}=+\infty.$

$\lim_{x \to -\infty} x exp x=0.$

On admet que ce théorème se généralise et qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.

Exemple :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{exp x}{3x^2+5x+1}=+\infty.$

$\lim_{x \to -\infty} exp x\times(3x^5+5x^3+1)=0.$

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Les fonctions exponentielles

Un QCM sur les fonctions exponentielles

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I . Equation différentielle f ’ = f avec f(0) = 1. :

II . Propriétés algébriques :

III . Etude de la fonction exponentielle.

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