Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur le calcul de somme et lessuites récurrentes en terminale S

La série 2 des exercices sur les suites numériques en terminale S, vous pouvez également télécharger ces exercices au format PDf gratuitement afin de pouvoir les imprimer librement.

Limite de suite numériques

Dans chacun des cas, étudier la limite de la suite proposée.

a_n=\frac{5n^3+2n-4}{n^3+n^2+1}

b_n=\frac{2sinn+3}{n+1}

c_n=\frac{5^n-2^n}{5^n+2^n}

Corrigé de cet exercice

Extrait du baccalauréat

Soient  (U_n) et  (V_n) les suites définies pour tout entier naturel n par :

 U_0=9\,,\,U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n-3\,,\,V_n=U_n+6

1.a. Montrer que  (V_n) est une suite géométrique à termes positifs .

b. Calculer la somme  S_n=\sum_{k=0}^{n}V_k en fonction de n et en déduire la somme  S'_n=\sum_{k=0}^{n}U_k en fonction de n .

c. déterminer  lim_{n \to +\infty} S_n et  lim_{n \to +\infty} S'_n .

2. On définit la suite  (W_n) par  W_n=ln V_n pour tout entier n .

Montrer que la suite  (W_n) est une suite arithmétique .

Calculer  S''_n=\sum_{k=0}^{n}W_k en fonction de n et déterminer  lim_{n \to +\infty} S''_n

3. Calculer le produit  P_n=V_0\times V_1 \times ....\times V_n en fonction de n.

En déduire  lim_{n \to +\infty} P_n

Corrigé de cet exercice

Quelques résultats historiques (R.O.C)

Démontrer que :

1.Toute suite convergente est bornée.

2.Toute suite croissante et non majorée diverge vers +\infty.

3.Si une suite converge, alors sa limite est unique.

4.La suite de terme général (-1)^n n’a pas de limite.

5. Si (un) est bornée et (vn) converge vers 0 alors (unvn) converge vers 0.

6.Toute suite convergente d’entiers relatifs est stationnaire et a pour limite un entier relatif.

7.Toute suite divergente vers +\infty est minorée.

Corrigé de cet exercice

Moyenne arithmético-géométrique

Soient a et b deux réels tels que a>b>0.

Soient (a_n) et (b_n) les suites définies par : a_0=a;b_0=b

\forall\,n_in\,\mathbb{N},a_{n+1}=\frac{a-n+b_n}{2} et b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}.

Démontrer que (a_n) et (b_n) convergent vers une même limite.

Corrigé de cet exercice

Divergence des suite (cos n) et (sin n)

Démontrer que les suites (sin\,n) et (cos\,n) divergent.

Corrigé de cet exercice

Comportement asymptotique des suites géométriques

1.Démontrer l’inégalité de Bernouilli :

pour tout réel x positif et tout entier naturel n, on a (1+x)^n\geq\,\,1+nx.

2.Soit (un) une suite définie par u_n=a^n avec a\in\,\mathbb{R}.

Démontrer que :

  • Si a\in]1;+\infty[ alors (un) est divergente vers +\infty.
  • Si a=1 alors (un) est constante donc converge vers 1.
  • Si a\in]-1;1[ alors (un) est convergente vers 0.
  • Si a\in]-\infty;-1[ alors (unà n’a pas de limite.

Corrigé de cet exercice

Somme des cubes

Soit n\in\mathbb{N}^*.

On désigne par S_n la somme des cubes des n premiers entiers naturels impairs :

S_n=1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3

Par exemple S_3=1^3+3^3+5^3=153.

1.Démontrer, par récurrence, que pour tout entier positif non nul S_n=2n^4-n^2.

2.Déterminer n tel que 1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=913\,276.

Corrigé de cet exercice

Notion de suite

Soient (U_n)  une suite croissante et majorée

et (V_n)   une suite décroissante et minorée.

Les suites (U_n) et (V_n) ont-elles nécessairement la même limite ?

Corrigé de cet exercice


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