Fonctions et variations : exercices de maths en 1ère corrigés.

✏️Exercices

1ère • Lycée

Fonctions et variations

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Les fonctions numériques et le sens de variation à travers des exercices de maths en 1ère corrigés. Calculer l’image ou l’antécédent et créer le tableau de variation. Étudier la dérivée à l’aide d’un tableau de signe puis le tableau de variation de la fonction. Déterminer des limites aux extrémités du domaine de définition et rechercher d’éventuelles asymptotes à la courbe en première.

Exercice 1 – Sens de variation d’une fonction composée

Donner une décomposition de la fonction $f$ définie par $f(x) = (x-3)^2 +2$ qui permette d’en déduire son sens de variation sur l’intervalle $I =] - \infty ; 3]$ .

Exercice 2 – Sens de variation

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x(1-x)\,sur\,\mathbb{R}.$

1. Démontrer que $f(x)\leq \frac{1}{4}\,,\gamma x\in\mathbb{R}.$

2. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum en $x=\frac{1}{2}.$

3. Démontrer que $f(x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$ .

4. En déduire que $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et décroissante sur $]\frac{1}{2};+\infty[$ .

Exercice 3 – Comparer deux fonctions

Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{1}{1+x^4}\,et\,g(x)=\frac{1}{1+x^2}$

1. Calculer $f(x)-g(x)$ .

2. En déduire l’intervalle sur lequel on a $f\geq g.$

Exercice 4 – Comparaison de fonctions

Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies par :

$f(x)=\sqrt{1+x}$ et $g(x)=1+\frac{x}{2}$ sur l’intervalle [-1;+\infty[ » alt= »[-1;+\infty[ » align= »absmiddle » />.

1. Montrer que $f(x)\geq 0$ et $g(x)\geq 0$ pour tout x appartenant à $[-1;+\infty[$ .

2. Calculer $\left (f(x) \right )^2$ et $\left (g(x) \right )^2$ .

3. Démontrer que $\left (f(x) \right )^2\leq \left (g(x) \right )^2$ pour tout x appartenant à $[-1;+\infty[$ .

4. En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

5. Tracer sur un même repère les représentations graphiques de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

Exercice 5 – Fonction composée

On considère la fonction f définie par $f(x) = x^2 - 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner une formule explicite de la fonction $fog$ lorsque :

1. $g(x)=\sqrt{x-1}\,sur\,[1;+\infty[$ .

2. $g(x)=1-\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*$ .

Exercice 6 – Parité

Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes :
$f(x)=x+\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*\\g(x)=x^2+\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*\\h(x)=x+\frac{1}{x^2}\,sur\,\mathbb{R}^*\\k(x)=x^2+\frac{1}{x^2}\,sur\,\mathbb{R}^*$

Exercice 7 – Etude de fonction numérique

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+6x+5$

1. Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de $f$ et la droite $D$ d’équation $y=\frac{1}{2}x-2$ .

Exercice 8

Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction f définie par $f(x)=3x-4x^3$ .

Exercice 9

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}$ .

1. Etudier les variations de f sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de $f$ au point A.

Exercice 10

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}$ .

Exercice 11 – Forme canonique et factorisée

Déterminer la forme canonique et factorisée de :

$f:x \mapsto2x^2-2(\sqrt{3}-\sqrt{5})x-2\sqrt{15}$

Exercice 12 – Etude de fonctions du second degré

On note $f$ et $g$ deux fonctions polynômes du second degré, définies par :

$f:x \mapsto 2x^2 +2x-4$ et $g:x \mapsto -(x+3)(x+2)$

On note $C_f$ et $C_g$ leur représentation graphique respectives dans un repère orthogonal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ puis celui de $g$ .

2. Déterminer la forme canonique puis factorisée de $f(x)$ .

3. Déterminer la forme développée puis canonique de $g(x)$ .

4. Déterminer les coordonées des points d’intersection entre $C_f$ et les axes du repère.

5. Déterminer les coordonées des points d’intersection entre $C_g$ et les axes du repère.

6. Dresser le tableau de variation de $f$ puis celui de $g$ .

7. Décrire $C_f$ puis $C_g$ .

8. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $C_f$ et $C_g$ .

9. Etudier la position relative entre les deux courbes $C_f$ et $C_g$ .

Exercice 13 – Etude d’une fonction inverse et de l’hyperbole

f est la fonction $x \mapsto \frac{2}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ .

g est la fonction $x \mapsto -x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Dans un repère orthonormal $(O,i,j)$ , C et D sont les courbes représentant f et g.

1. Tracer les courbes C et D.

2. Démontrer que le point d’abscisse 1 de D appartient à C.

Trouver le second point d’intersection de ces courbes.

indication : Vérifier que x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

3. Vérifier les coordonnées de ces points d’intersection sur le graphique.

4. Construire l’ensemble des points M(x; y) tels que x² y² = 4.

5. Un rectangle a pour aire 2 m² et pour périmètre 6m.

En utilisant le graphique précédent, trouver sa longueur et sa largeur.

Exercice 14 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{(1-x^2)^2}{1+x^2}$

1. Déterminer son ensemble de définition.

2. Démontrer que f est une fonction positive sur $\mathbb{R}$ .

3. Etudier la parité de la fonction f.

4. Tracer soigneusement la représentation graphique Cf de la fonction f.

On se limitera à l’intervalle [- 3 ; 3 ].

5. Donner, par lecture graphique, la valeur du maximum de la fonction f sur :

a. l’intervalle [-1;1].

b. l’intervalle [-2;1].

6. Résoudre l’inéquation $f(x)\leq 1$ .

Exercice 15 – Comparaison de fonctions
Le but de cet exercice est de comparer les fonctions f et g définies par :

$f(x)=\sqrt{1+x}$ et $g(x)=1+\frac{x}{2}$ sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

1. Montrer que $f(x)\geq 0$ et $g(x)\geq 0$ pour tout $x\in[-1;+\infty[$ .

2. Calculer $(f(x))^2$ et $(g(x))^2$ .

3. démontrer que $(f(x))^2 \leq (g(x))^2$ pour tout $x\in[-1;+\infty[$ .

4. En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

5. Tracer sur un même repère les représentation graphique de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

Exercice 16 – Parité

Etudier la parité des fonctions suivantes :

$f(x)=x+\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$

$g(x)=x+\frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^*$

Exercice 17 – Composée

On considère la fonction f définie par $f(x)=x^2-1$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner une formule explicite de la fonction $fog$ lorsque :

$g(x)=\sqrt{1-x}$ sur $]-\infty;1]$ puis $g(x)=1-\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Exercice 18 – Composée de fonctions de référence

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{4x-1}$ sur $I=[\frac{1}{4};+\infty[.$

En considérant la fonction f comme la composée de fonctions de référence, préciser le sens de variations de f sur l’intervalle I.

Exercice 19 – Sens de variation d’une fonction composée

On donne $f(x)=-3x+1$ et $g(x)=\frac{1}{x}$ .

On définit la fonction $h$ définie sur $I=]-\infty;\frac{1}{3}[$ par $h=gof.$ .

1. Donner l’expression de $h(x)$ .

2. Déterminer le sens de variation de $h$ sur I .

Exercice 20 – Ensemble de définition d’une fonction composée

On considère les fonctions f et g définies par :

$f(x)=x^2-1\,et\,g(x)=\frac{x+1}{x}$ .

1. Calculer $gof(x)$ .

2. Quel est l’ensemble de définition de $gof$ ?

Exercice 21 – Fonction majorée

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{2x^2}{x^2+3}$ .
1. Déterminer les réels a et b tels que $f(x)=a+\frac{b}{x^2+3}$ .

2. Montrer que f est majorée par 2.

Exercice 22 – Forme canonique

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=3x^2-12x+21$

1. Déterminer la forme canonique de $f$ .

2. Décrire la courbe de $f$ .

Exercice 23 – Tracer la courbe de la somme de deux fonctions

u et v sont représentées ci-dessous.

Tracer sur ce graphique la courbe représentative de la fonction u + v.

Exercice 24 – Exploitation d’un tableau de variation

Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ :

On donne f( – 2) = – 1 et f(2) = 0.
On définit les fonctions suivantes :

$h:x \mapsto f(x)+2;r:x \mapsto f(x+2);p:x \mapsto f(2x);g:x \mapsto 2f(x)$

1. Donner les valeurs de g (1), h (2), p (1) et r ( – 1).

2. Etablir les tableaux de variations de h, r, p et g.

Exercice 25 – Fonction rationnelle

Soit la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{2x+3}{3x+2}$

1. Etudier les limites de f. Interpréter graphiquement.

2. Etudier les variations de f. Donner le tableau de variations complet.

3. Déterminer les éventuelles intersections de (Cf ) avec l’axe des abscisses.

Exercice 26 – Fonctions composées commutatives

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=2x^2-1$ et $g(x)=4x^3-3x.$

Démontrer que $fog=gof.$

Exercice 27 – Comparaison de racines

Soient $a,b$ dans $\mathbb{R}$ .

1. Développer $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2.$

2. Démontrer que $\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}.$

Exercice 28 :

1)Recopier et compléter les phrases suivantes.

a) » La parabole $P$ et la droite d se coupent en … ».

b) » La parabole $P$ est située strictement au-dessus de la droite d sur … ».

« La parabole $P$ est située strictement en-dessous de la droite d sur … ».

2)En déduire les solutions des équations et inéquations.

a) f(x) = g(x). b) f(x)>g(x). c) f(x) < g(x).

Exercice 29 :

1)Etudier la position relative de la parabole $P$ et de la droite $d$ .

2)En déduire les solutions des équations et des inéquations suivantes :

a) f(x) = g(x). b) f(x)>g(x). c) f(x) < g(x).

Exercice 30 :

Soient f et g deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ dont les courbes $C_f$ et $C_g$ sont représentées

ci-dessous dans un repère du plan.

1)Etudier la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ .

2) En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes.

a) f(x) = g(x). b) f(x)>g(x). c) f(x) < g(x).

Exercice 31 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [- 5 ; 6 ].

La courbe représentative de f est tracée ci-dessous dans un repère du plan.

1)Décrire les variations de f sur [- 5 ; 6].

2) En déduire le tableau de signes de la fonction dérivée f ‘ sur [- 5 ; 6 ].

Exercice 32 :

Soit g une fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ et g ‘ sa dérivée.

On donne le tableau de signes de g ‘.

La fonction g admet-elle un extremum local ?

Si oui, est-ce un maximum ?

Exercice 33 :

Soit g une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et g ‘ sa dérivée.

On donne le tableau de signes de g ‘.

1)La fonction g admet-elle un minimum local ?

Si oui, en quelle valeur ?

2)La fonction g admet-elle un maximum local ?

Si oui, en quelle valeur?

Exercice 34 :

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{3}{4}x^2-15x+100$ .

1)Justifier que f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer f ‘ (x) pour tout réel x.

2)Dresser le tableau de signes de f ‘ (x) sur $\mathbb{R}$ .

3)En déduire que f admet un extremum local en une valeur que l’on déterminera.

Exercice 35 :

On a le tableau de variations d’une fonction g définie et dérivable sur [- 5 ; 8 ].

a)Donner un encadrement de g(x) lorsque $3\leq x\leq 8$ .

b)Donner un encadrement de g(x) lorsque $-2\leq x\leq 3$ .

c)Donner un encadrement de g(x) lorsque $-5\leq x\leq 3$ .

d) Soient a et b deux réels tels que $-5\leq a<b\leq -2$ .

e) Soient a et b deux réels tels que $-2\leq a<b\leq 3$ .

Comparer g(a) et g(b).

f) Soit $a\in[-5;-2]$ et $b\in[3;8]$ . Comparer g(a) et g(b).

Exercice 36 :

1. Etudier la position relative de la parabole $P$ et de la droite d.
2. En déduire les solutions des équations et inéquations.
a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x) < g(x)

Exercice 37 :

1.Étudier la position relative de la parabole $P$ et de la droite d.
2.En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes :
a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x) < g(x)

Exercice 38 :

Soient f et g deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ dont les courbes $C_f$ et $C_g$ sont représentées ci-dessous dans un repère du plan.
1 . Étudier la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ .
2. En déduire les solutions des équations et inéquations suivantes.
a) f(x) = g(x)
b) f(x) > g(x)
c) f(x)< g(x)

Exercice 39 :

Soit f et g deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2- 3x+ 7$ et $g(x) = 5x- 9$ .
1. Montrer, que pour tout réel x, $f(x)- g(x) = x^2 - 8x+ 16$ .
2. Étudier, selon les valeurs de x, le signe de f(x) — g(x).
3. En déduire la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ .

Exercice 40 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [- 5 ; 6].

La courbe représentative de f est tracée ci-dessous dans un repère du plan.

1.Décrire les variations de f sur [- 5 ; 6].
2.En déduire le tableau de signes de la fonction dérivée $f '$ sur [-5 ; 6].

Exercice 41 :

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [- 2 ; 10].

Sa dérivée est la fonction $f '$ représentée par la courbe ci-dessous dans un repère du plan.
1 . Lire graphiquement le signe de $f '(x)$ selon les valeurs de x de l’intervalle [ – 2 ; 10].

Et présenter vos résultats dans un tableau de signes.
2. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [ – 2 ; 10].

Exercice 42 :

Soit f une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f '$ sa dérivée. On donne le tableau de signes de $f '$ .

La fonction f admet-elle un extremum local ? Si oui, est-ce un maximum ou un minimum ?

Exercice 43 :

Soit g une fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ et $g'$ sa dérivée.

On donne le tableau de signes de $g'$ .

La fonction g admet-elle un extremum local ? Si oui, est-ce un maximum ou un minimum ?

Exercice 44 :

Soit f une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f '$ sa dérivée.

On donne le tableau de signes de $f '$ .
1. La fonction f admet-elle un minimum local ? Si oui, en quelle valeur ?
2. La fonction f admet-elle un maximum local ? Si oui, en quelle valeur ?

Exercice 45 :

Soit g une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'$ sa dérivée.
On donne le tableau de signes de $g'$ .

1. La fonction g admet-elle un minimum local ? Si oui, en quelle valeur ?
La fonction g admet-elle un maximum local ? Si oui, en quelle valeur ?

Exercice 46 :

Soit un segment [AB] de longueur 10 et M un point de ce segment.
Du même côté de ce segment, on construit deux carrés AMNP et MBCD.

On pose AM = x et on étudie l’aire du domaine formé par ces deux carrés en fonction de x.

1.A quel intervalle I appartient le réel x ?
2. Soit f(x) l’aire du domaine.
Montrer que, pour tout réel x de l, on a:
$f(x) =2x^2 - 20x+ 100.$
3. Justifier que la fonction f est dérivable sur I et déterminer $f'(x)$ pour tout x de I.
4. En déduire les variations de f sur I et la valeur de x pour laquelle l’aire du domaine est minimale.

Exercice 47 :

Soit f une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{4}x-5$ et g une fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(x)= -\frac{7}{x}$ .
a) Montrer que, pour tout réel x non nul :
$f(x)-g(x)=\frac{\frac{1}{4}x^2-5x+7}{x}$ .
b) Étudier, selon les valeurs de x, le signe de f(x) — g(x).
c) En déduire la position relative des courbes $C_f$ et $C_g$ .

Exercice 48 :

On a le tableau de variations d’une fonction g définie et dérivable sur [ – 5 ; 8] :

a) Donner un encadrement de $g(x)$ lorsque $3 \leq x\leq 8$ .
b) Donner un encadrement de $g(x)$ lorsque $-2\leq x\leq 3$ .
c) Donner un encadrement de $g(x)$ lorsque $-5\leq x\leq 3$ .
d) Soient a et b deux réels tels que $-5 \leq a < b\leq -2.$
Comparer g(a) et g(b).
e) Soient a et b deux réels tels que $-2 \leq a < b\leq 3.$

Comparer g(a) et g(b).
f) Soit $a \in [-5 ;-2]$ et $b \in [3 ;8]$ .

Comparer g(a) et g(b).

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