Exercices maths terminale S et ES

Problème du bac avec des équations différentielles, limites et intégrales

La série 3 des exercices en terminale S sur les fonctions exponentielles, ces exercices sont à télécharger au format PDF afin de les imprimer librement et de disposer de la correction.

Extrait baccalauréat
Problème :(Amerique du nord)

Partie A

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considere l’équation différentielle :

(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur \mathbb{R}, vérifient, pour tout x réel :

g(x)=h(x)e^{-x}

a. Montrer que g est solution de (E_n) si et seulement si, pour tout x réel :

\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!} .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (E_n), sachant que f(0)=0.

Quelle est alors la fonction g?

2. Soit \phi une fonction dérivable sur \mathbb{R} .

a. Montrer que \phi est solution de (E_n) si et seulement si \phi - g est solution de l’équation :

(F) y’+y=0

b. Résoudre (F) .

c. déterminer la solution générale \phi de l’équation (E_n) .

d. Déterminer la solution f de l’équation (E_n)vérifiant f(0)=0 .

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :

\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}

1. On pose, pour tout x réel,

f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}.

a. vérifier que f_1 est solution de l’équation différentielle : y’+y=f_0 .

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction f_n comme la solution de l’équation différentielle y’+y=f_{n-1} vérifiant f_n(0)=0 .

En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier n\ge 1 :

f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x} .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

I_n=\int_{0}^{1} f_n(x)dx

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :

0\le f_n(x)\le \frac{x^n}{n!} .

En déduire que 0\le I_n\le \frac{1}{(n+1)!}, puis déterminer la limite de la suite ( I_n) .

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :

\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}} .

c. Calculer I_0 et déduire de ce qui précéde que :

I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!} .

d. En déduire finalement :

\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}

Corrigé de cet exercice


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «problème du bac avec des équations différentielles, limites et intégrales» au format PDF.



Des cours et exercices expliqués en vidéos



Rejoignez-nous sur notre chaîne YouTube

Concours : gagnez une PS4 ou un Ipad Pro

Nouveau concours avec une console Playstation 4 (PS4 ) ou une tableatte Ipad Pro à gagner.
Le tirage au sort sera effectué avec un logiciel de manière aléatoire chaque début de mois et les résultats seront annoncés sur notre page facebook.
Les gagnants seront tirés au sort parmi les 1 000 premiers abonnés de notre nouvelle chaîne Youtube.


je participe au tirage au sort en m'abonnant à la chaîne YouTube Je participe au tirage au sort en m'abonnant à la chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 1 550 149 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 147 085 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

Mathovore

GRATUIT
VOIR