Exercices maths 1ère

Exercices sur le barycentre série 6

La série 6 des exercices et problèmes sur l’associativité du barycentre et sur la construction et la position du centre de gravité d’un triangle.

Un lieu géométrique

[AB] est un segment de longueur 10 cm  et  G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}

1. Développez et réduire  2(\vec{MG}+\vec{GA})^2+3(\vec{MG}+\vec{GB})^2

2. Démontrez alors  que pour tout point M du plan on a   2MA² +  3MB² = 5MG² + 120

3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que  2MA² +  3MB² =  245

Corrigé de cet exercice

Ensemble de points

A, B et C sont 3 points  du plan non alignés et  k  un nombre réel quelconque.

I  bar { (B ;1), (C ;2)} et  G  le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)

1. Exprimer  \vec{IG} en fonction de \vec{IA} , \vec{IB} et \vec{IC} .

2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit \mathbb{R}.

3. Représentez  graphiquement  (E)  dans le cas  AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm

Corrigé de cet exercice

Associativité du barycentre

A, B, C et D sont quatre points distincts.

On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1),  J  le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I  le milieu de [AG].

Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Corrigé de cet exercice

Barycentre et paramètre

ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point Gm barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).

On note O le milieu de [BC].

1.      Expliquer pourquoi Gm existe toujours et démontrer que, lorsque m  décrit \mathbb{R} ,  Gm décrit  une droite D que vous préciserez.

2.      a) Construisez G2 et G-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et  BC = 6cm

b) On suppose m différent de 2 et -2.

Soit Gm un point de D distinct de A, G2 etG-2 .

Démontrer que (BGm) coupe  (AC) en un point noté I et que (CGm) coupe (AB) en un point noté J.

3.      Dans le repère (A,\vec{AB},\vec{AC}),

calculez en fonction de m  les coordonnées de I et J.

Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés.

(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs)

Corrigé de cet exercice

Centre de gravité

Soit ABC un triangle,  A’ , B’ , et C’  les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.

On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M  par rapport à A’ , B’ , et C’ .

On désigne par M’ barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)

1.      Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M ‘.

2.      Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG).

Corrigé de cet exercice

info

Poursuivez vos révisions en effectuant la série 2 des exercices sur le barycentre, série 3, série 4, série 5, série 1, série 7 en première S.


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