Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur le calcul de dérivée et les propriétés de la dérivation en terminale S

La série 4 des exercices sur les intégrales en terminale S, vous pourrez consulter les corrections détaillées afin de repérer vos éventuelles erreurs commises.

Dérivée de fonctions

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

  • f(x)=\frac{2x+1}{x-2}-\frac{1}{x+4}
  • f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-9}
  • f(x)=x^5-2x+\frac{3}{x}
  • f(x)=(x^3-2x+1)^3
  • f(x)=\,\sqrt{1-5x^2}
  • f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+3}}

Corrigé de cet exercice

Transformation de acos x + bsin x

Soient a et b deux nombres réels.

Démontrer qu’il existe deux réels R et \theta tels que pour tout x de \mathbb{R} :

acosx+bsinx=Rcos(x-\theta\,).

Application :

Résoudre dans \mathbb{R}, l’équation cosx+sinx=1.

Corrigé de cet exercice

Théorème du point fixe

Soit f une fonction continue et définie sur l’intervalle [0;1] et à valeurs dans l’intervalle [0;1].

Démontrer que f admet (au moins) un point fixe dans [0;1].

Corrigé de cet exercice

Théorème de bijection

Démontrer que l’équation  x^4+x^3-x+1=0 n’a pas de solution sur \mathbb{R}.

Corrigé de cet exercice

Exercice sur les règles opératoires

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et a un point à l’intérieur de T.

Démontrer que si f et g sont des fonctions dérivables en a alors :

1. f + g est dérivable en a.

2. fg est dérivable en a.

3. Si g est nulle au voisinage de a alors \frac{1}{g} est dérivable en a.

Corrigé de cet exercice

Etude d’une fonction irrationnelle

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-x.

On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1.Etudier les limites de f en -\infty eten +\infty.La courbe Cf admet-elle des asymptotes horizontales?

2.Démontrer que la droite \Delta d’équation y=-2x-\frac{1}{2} est asymptote oblique à Cf en -\infty.

Corrigé de cet exercice


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