Exercices maths terminale S et ES

Exercices sur les limites, les asymptotes et la tangente à une courbe en terminale S

La série 5 des exercices sur la dérivation et les intégrales en terminale S afin de consolider vos connaissances et de progresser avec Mathovore.

Dérivée et dérivation
Exercice n° 1 :

Pour chacunes des fonctions f suivantes :
• Indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction .
• ,Calculer sa dérivée .

a.  f(x)=(x^2-5)^4 .

b.  f(x)=\sqrt{x^2+5x-6} .

c.  f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} .

d.  f(x)=(3x+6)^{-2} .

e.  f(x)=\sqrt{3+cos^2 x} .

f.  f(x)=sin(3x).cos(2x) .

g.  f(x)=\frac{sin(3x)}{x} .

h.  f(x)=\frac{x+3}{x^2-4} .

Exercice n° 2 :

pour tout entier naturel n, on considere la fonction  f_n definie sur  ]-1;+\infty[ par :

• pour n=0,  f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}

• pour  n\ge 1\,,\,f_n(x)=\frac{x^{3n}}{\sqrt{1+x^3}

On Désignera par (Cn) la courbe représentative de  f_n dans un repère orthonormal  (O,\vec{i},\vec{j}) ayant comme unité graphique 4 cm.

1. Déterminer les limites de  f_0 aux bornes de son ensemble de définition.
Etudier le sens de variation de  f_0 et construire  C_0 dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}) .

2. Soit n un entier naturel non nul.
a.  f'_n désignantla fonction dérivée de  f_n , montrer que :

 f'_n=\frac{x^{3n-1}[(6n-3)x^3+6n]}{2(1+x^3)(\sqrt{1+x^3})}

b. Etudier le sens de variation des fonctions  f_1 et  f_2 puis dresser leur tableau de variation .

c. Tracer  C_1 et  C_2 dans le repere  (O,\vec{i},\vec{j}).

Corrigé de cet exercice

Limite et dérivée
Exercice n° 1 :

Calculer les limites suivantes, dont on admettra l’existence.

a.  \lim_{x\to +\infty} (3x^2+4x-5) .

b.  \lim_{x\to +\infty} (2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}) .

c.  \lim_{x\to +\infty} (\frac{6x-1}{2x+5}) .

d.  \lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}) .

e.  \lim_{x\to \pi} (\frac{sinx}{x}) .

f.  \lim_{x\to -3} (\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3}) .

Exercice n° 2 : asymptotes

Pour chacunes des fonctions f suivantes :
• Déterminer son ensemble de définition.
• Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition.
• En déduire l’existence d’asymptote à la courbes représentative de la fonction f et indiquer leur équation .

a.  f(x)=\frac{2x-4}{x-3} .

b.  f(x)=\frac{4x^2-2x-1}{x^2-x-12} .

Corrigé de cet exercice

Exercices sur l’étude de fonction extrait de sujet du baccalauréat

On considere l’application f de  \mathbb{R} dans  \mathbb{R} definie par :

si  x\in [0;2[\,,\, f(x)=x^2(2-x) ;

et pour tout  x de  \mathbb{R}\,,\,f(x+2)=f(x) .

1. Etudier la restriction  f_0 de f à l’intervalle [0;2] et construire la courbe représentative de  f_0 .

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n;2n+2] où n est élément de  \mathbb{Z} .

2. Démontrer que :

Si  x\in [2n;2n+2]\,,\, f(x)=(x-2n)^2(2n+2-x).

3. Est-ce que f est continue sur  \mathbb{R} ?

4. Est-ce que f est dérivable sur  \mathbb{R} ?

Corrigé de cet exercice

Fonction et dérivée

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^{-2e^{-3x}}.

1.Calculer f(0).

2.Etudier les limites de f en -\infty et en +\infty.

3.calculer la dérivée f’.En déduire le tableau de variations de f.

4.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse x_0=\frac{1}{3}ln2.

Corrigé de cet exercice


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