Intégrales et primitives : exercices de maths en terminale corrigés en PDF.

Mis à jour le 29 juillet 2025

✏️Exercices

Terminale • Lycée

Intégrales et primitives

⏱️ Temps de travail : 20-45 min

🎯 Niveau : Lycée

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

La dérivation et les intégrales à travers des exercices de maths en terminale corrigés. Vous pouvez également entamer vos révisions avec les énoncés à difficultés croissantes afin de combler vos lacunes et progresser tout au long de l’année scolaire sur le chapitre des intégrales.

Exercice 1 – Calcul intégral
Calculer
$I= \int_{1}\;^{2}\frac{1+x^2}{1+x}dx$
en cherchant une intégrale intermédiaire de la forme
$J = \int_{1}\;^{2}\frac{f(x)}{g(x)}dx$
qui s’intégrera facilement.

Exercice 2 – Intégration par partie
Calculer ces intégrales en intégrant par parties:
A.    $\int_{0}^{3}x\sqrt{3-x}dx$ .
B.    $\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x^2}dx$ .
C.       $\int_{0}^{\pi}xcos(\frac{x}{2})dx$ .

Exercice 3 – Dérivée d’une fonction
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ par $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{lnx}{x}$ .
Quelle est la dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ ?

Exercice 4 – Limite d’une fonction et asymptotes
Soit $f$ une fonction définie sur $]-\infty,;0]\cup,[1;+\infty,[$ tel que $f(x)=\sqrt{x^2-x}+x$ .
1. a. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
b. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ , que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
2. Cette fonction est-elle dérivable en 0 ? en 1?
Que peut -on en déduire pour la courbe de $f$ ?
3. a. Déterminer la limite en $+\infty$ de $\frac{f(x)}{x}$ .
b. déterminer la limite en $+\infty$ de $[f(x)-2x]$
En déduire que la courbe de $f$ admet une asymptote oblique en $+\infty$ .

Exercice 5 – Fonction numérique et dérivée
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}-,,\{,3,,\}$ par $f(x)=\frac{-2x^2+3x+7}{x-3}$
et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.
1.a.Déterminer les limites de f en $+\infty$ et $-\infty$ .
b.Etudier le comportement asymptotique de f en 3.Interpréter les résultats graphiquement.
2.a.Déterminer la dérivée de f et étudier les variations de f.Dresser le tableau de variation complet de f.
3.a.Montrer que la courbe de f admet la droite (D) d’équation y = – 2x – 3 comme asymptote oblique en $+\infty$ et $-\infty$ .
b.Déterminer algébriquement la position relative de la courbe C et de la droite (D).
4.Soit S(3;- 9).Montrer que S est le centre de symétrie de la courbe C.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
5. Construire la courbe C et y faire apparaître les éléments remarquables.

Exercice 6 – Intégrales et suites numériques au Bac S Liban
On considère la suite $( U_n)$ définie, pour tout entier naturel n , par :
$U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx$
1.
a. Montrer que $U_0+U_1=1$ .
b. Calculer $U_1$ , en déduire $U_0$ .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $U_n\geq\, 0$ .
3.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
$U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}$
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
$U_n\leq\, \frac{1-e^{-n}}{n}$
4. Déterminer la limite de la suite $( U_n)$ .

Exercice 7 – Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie

Soit f la fonction déﬁnie pour tout nombre réel x par $f(x) = (1 + x)e^{-x}$
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’unité graphique 1 cm.

1. a. Étudier le signe de f(x) sur $\mathbb{R}$ .

b. Déterminer la limite de la fonction f en $-\infty$ .
Déterminer la limite de la fonction f en $+\infty$ .

c. On note f ‘ la fonction dérivée de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .
Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).

En déduire les variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ .

d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].

2. On note $(I_n)$ la suite déﬁnie pour tout entier naturel n par :
$I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx$

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de n.

a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0$ .

b. Montrer que la suite $(I_n)$ est croissante.

3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}$

b. En déduire l’expression de $I_n$ en fonction de n.

c. Déterminer $\lim_{n \mapsto +\infty }I_n$ .

d. Donner une interprétation graphique de cette limite.

4. Déterminer $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que
$\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e$ .

Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?

Exercice 8 – Dérivée
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x)=cos^4\,x,-,cos^2\,x$ .
1. Calculer $f,'(x)$ et $f''(x)$ .
En déduire que $f''(x)+16f(x)$ est constant .
2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$ .

Exercice 9 – Intégration par partie
Calculer :
$I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt$

Exercice 10 – Le calcul de primitives
Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .
a. $f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.$
b. $f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.$
c. $f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+{1}{2}x^4\,.$
d. $f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.$
d. $f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.$
e. $f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.$
f. $f(x)=cos(x)+sin(x)\,.$
g. $f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.$
h. $f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.$
i. $f(x)=ln(x)\,.$
j. $f(x)=sinx\times cos^2 x\,.$
k. $f(x)=sin(-3x+1)\,.$
l. $f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.$
m. $f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.$
(Indication : penser à $\frac{u'v-uv'}{v^2}=({\frac{u}{v}})^'\,.$ ).

Exercice 11

Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.
a. $f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.$
b. $f(x)=\frac{1}{sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.$
c. $f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.$

Exercice 12
Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.$
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,
$f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.$
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .

Exercice 13 – Extrait bac s sur l’intégration par partie
1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout $x\in ]0;+\infty[$ :
$\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}$ .
2. Soit $X\ge 1$ .
a. Calculer $\int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2}$ .
b. Soit f la fonction définie sur $x\in [1;+\infty[$ par $f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx$
En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .
c. Montrer que $\lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})$

Exercice 14 – Les intégrales et les primitives

Calculer l’intégrale proposée :
a. $\int_2^{3} 0 dt \,.$
b. $\int_{-1}^{2} (-x+6) dx \,.$
c. $\int_0^{4} (2x^2+8x-1) dx \,.$
d. $\int_0^{\frac{2\pi}{3}} (cosx) dx \,.$
e. $\int_{-2}^{0} (x^5+4x^3+x^2-x) dx \,.$
f. $\int_1^{3} (\frac{1}{x^2}) dx \,.$
g. $\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{cos^2 x}) dx \,.$
h. $\int_{3}^{4}(\frac{1}{\sqrt{2x+5}}) dx \,.$

Exercice 15 – calculs d’aires
Soit $f(x)=x^2+1 \,.$
I=[-1;0].
$D$ est délimité par l’axe des abscisse, la courbe $C$ , les droites d’équations x=-1 et x=0 .
Démontrer que f est positive sur I et calculer l’aire du domaine $D\,.$

Exercice 16 – propriétés de l’intégration
On considère $\int_a^{b} f(x) dx=5 \,.$ et $\int_a^{b} g(x) dx=3 \,.$
a. Calculer $\int_a^{b} (2f(x)-4g(x)) dx \,.$
b. Déterminer $\beta \,.$ sachant que : $\int_a^{b} (4f(x)-\beta g(x)) dx=2 \,.$

Exercice 17 – propriétés de l’intégration
Justifier sans calcul le résultat suivant :
$\int_{-5}^{5} (x^3-tan x) dx=0 \,.$

Exercice 18
Calculer l’intégrale proposée en linéarisant :
a. $\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^2x dx \,.$
b. $\int_0^{\frac{\pi}{4}} sin x.cos x dx \,.$

Exercice 19
Soit $f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2} \,.$ .
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1, $f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2} \,.$
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[.

Exercice 20 :

Calculer la valeur des deux intégrales suivantes :

$a)\int_{0}^{4}3dx\,\,\,;\,\,\,b)\int_{3}^{7}\,(\,\frac{1}{2}t+2dt\,\,)$

Exercice 21 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}$ .

Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, dire s’il s’agit d’une primitive de f sur $\mathbb{R}$ .

$F_1(x)=\frac{-1}{e^x+1}\\F_2(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}\\F_3(x)=\frac{2e^{-x}+1}{e^{-x}+1}\\F_4(x)=\frac{e^{-x}+2}{e^{-x}+1}$

Exercice 22 :

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ des fonctions numériques suivantes :

$a)\,f(x)=5x^4-3x+7\,,\,I=\mathbb{R}\\b)\,g(x)=4(3x-1)^5\,,\,I=\mathbb{R}\\c)\,\,h(x)=\frac{7x}{x^2+4}\,,\,I=]-4;+\infty[\\d)\,i(x)=3xe^x\,,\,I=\mathbb{R}$

Exercice 23 :

a) Démontrer que pour tout réel t de l’intervalle [0;1],

$2-2e^t\leq\,\,\,2-2e^t\leq\,\,0$

b) Démontrer que, pour tout nombre réel t de l’intervalle $[1;+\infty[$

$2-2e^{t^2}\leq\,\,2-2e^t$

c) En déduire :

un encadrement de $\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt$
l’inégalité $\int_{1}^{5}(2-2e^{t^2})dt\leq\,\,8+2(e-e^5)$

Exercice 24 :

Démontrer que pour tout entier naturel n,

$0\leq\,\,\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\,\,ln2$

Exercice 25 :

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction f définie

et continue sur l’intervalle [-4;4].

Calculer les intégrales suivantes :

$a)\,\int_{-4}^{-2}f(t)dt\\b)\,\int_{-2}^{2}f(t)dt\\c)\,\int_{2}^{4}f(t)dt$

Exercice 26 :

Calculer chacune des intégrales suivantes :

$a)\int_{-2}^{1}5dx\\b)\int_{-1}^{2}(-t+4)dt\\c)\int_{-3}^{3}(x+3)dx\\d)\int_{0}^{5}(2x+1)dx\\e)\int_{-2}^{2}\,(\,1-\frac{x}{2}\,\,)dx\\f)\,\int_{-1}^{1}\,(\,1-\,|\,x\,\,|\,\,)dx$

Exercice 27 :

Sur le graphique ci- dessous sont tracées les courbes représentatives des
fonctions f et g définies sur [0 ; 1] par $f(x)=x^2$ et $g (x) = -x^2$ et deux surfaces
limitées par ces courbes.

1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la surface colorée en bleu.

2. En déduire, sans calcul, l’aire, en unités d’aire, de la surface colorée en rouge.

3. Retrouver l’aire précédente par un calcul d’intégrale.

Exercice 28 :

Pour l’exercice, indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse, puis justifier.

Soit $I=\int_{1}^{3}xdx$ et $J=\int_{-2}^{2}-0,5x+1dx$ .

Par lecture graphique sur le schéma ci-contre I = J.

Exercice 29 :

Déterminer une primitive de chacune des fonctions f, g et h sur $\mathbb{R}$ par leurs expressions.

$1)f(x)=2xe^{x^2-3};g(x)=\frac{x}{x^2+4};h(x)=cos(x)sin^2(x)$ .

$2)f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1};g(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2};h(x)=x(x^2+5)^{-3}$ .

$3)f(x)=xe^{-x^2},g(x)=\frac{e^x}{e^x+1};h(x)=\frac{8x}{\sqrt{2x^2+1}}$ .

Exercice 30 :

Soit une fonction f définie sur [ – 3 ; 5 ].

La courbe ci-dessous représente une primitive F sur [ – 3; 5 ] de f.

Parmi les deux courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction f? Justifier.

Exercice 31 :

Pour tout entier naturel n, on pose :

$I_n=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx$ .

1)a) Encadrer l’inverse de x sur [ n ; n+1 ].

b) Calculer $\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx$ .

c) Démontrer que $\frac{1}{n+1}\leq\, I_n\leq\, \frac{1}{n}$ .

2) En déduire la limite de la suite $(I_n)$ .

Exercice 32 :

g est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\,(2cos(x)\,-\,l)sin(x)$ .
Voici la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.

Calculer l’aire, en unité d’aire, du domaine coloré sur le graphique.

Exercice 33 :

f est la fonction définie sur $[0;\,+\infty[$ par : $f(x)=\,xe^{-x}$ .
On note $\varphi$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

a) Justifier que la courbe $\varphi$ est au-dessus de l’axe des abscisses.
b) Pour tout réel $a\geq\,\,0$ , on note $D_a$ le domaine situé sous la courbe $\varphi$ sur l’intervalle $[0;\,a]$ .
A l’aide d’une intégration par parties, exprimer l’aire, en u.a., du domaine $D_a$ en fonction de a.
c) Déterminer la limite de cette aire lorsque a tend vers $+\infty$ .

Exercice 34 :

Dans un repère orthogonal, on a tracé la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 6] par :
$f(x)=x(6-x)$ .
$A$ est l’aire du domaine coloré, en unité d’aire.

Pour tout réel $m$ , on note $D_m$ la droite d’équation $y=mx$ .
Déterminer, si elles existent, les valeurs de $m$ pour lesquelles l’aire du domaine compris entre $\varphi$ et $D_m$ est égale à un huitième de $A$ .

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