Exercices maths 1ère

Exercices sur les homothéties

Des exercices de maths en première S sur les homothéties.
Homothéties et triangles isocèles

Dans le plan orienté on donne deux droites parallèles D et  ∆ , et un point A n’appartenant à aucune des
deux droites. Construire un triangle ABC vérifiant simultanément les conditions suivantes :
– ABC est rectangle en A.
– ABC est isocèle.
– B est sur D et C est sur  ∆ .
1. Précisez le nombre de solutions au problème posé.
2. Généralisez à un triangle isocèle de sommet A.

Corrigé de cet exercice

Homothéties et cercles

Soit deux cercles (C) et (C’) de centres respectifs O et O’ et de rayons R et R’ distincts.
1. Déterminer les homothéties transformant (C) en (C’). On précisera leurs centres et leurs rapports.
2. Construire les tangentes communes à (C) et (C’).

Corrigé de cet exercice

Barycentre

On considère dans un plan P un triangle ABC , B’ le milieu de [AC] , C’ celui de [AB],
I le barycentre du systême {(A, 2), (B, 2), (A, 1), (C, 1)},
et D celui de {(A, 3), (B, 2)}.
1. Montrer que I est le barycentre de {(B’, 1), (C’, 2)} et de {(D, 5),(C, 1)}.
En déduire une construction géométrique simple de I.
Faire la figure.
2. La droite (AI) coupe (BC) en E .
Préciser la position de E sur [BC] .
3. B et C restent fixes, A se déplace dans le plan de sorte que AE soit constante.
Déterminer et construire l’ensemble des points A, des points I et des points D.

Corrigé de cet exercice

Cercle circonscrit à un triangle

Soit un triangle ABC. On appelle I le milieu de [BC].
Soit  Γ le cercle circonscrit au triangle ABC. On appelle O son centre. D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle  Γ .
On considère l’homothétie h de centre A et de rapport 2.
1. Construire le point E, image de B par h, et le point F, image de C par h.
2. Déterminer l’image de O par h.
Construire l’image de la droite (IO) par h.
Montrer que l’image de (IO) est perpendiculaire à (EF).
3. K est le projeté orthogonal de D sur (EF).
Déterminer l’image de I par h.
Montrer alors que I est le milieu de [AK].
En déduire que K est le milieu de [EF].

Corrigé de cet exercice

Problème

Soit ABC un triangle, ( Γ ) son cercle circonscrit et O le centre de ( Γ ).
Soit H le milieu de [BC] et D le point de ( Γ ) diamétralement opposé à A.
B’ est le symétrique de A par rapport à B et C’ le symétrique de A par rapport à C. D se projette orthogonalement en K sur [B’C’].
Le but de l’exercice est de démontrer que K est le milieu de [B’C’] et que les points A, H et K sont alignés .
Pour cela on considère l’homothétie h de centre A qui transforme B en B’  .
1. Quel est le rapport de h ?
2. Déterminer les images par h des points O et C, puis l’image du segment [BC].
3. Soit ( Γ’ ) l’image du cercle ( Γ ) par h. Quel est le centre de ( Γ’ ) ? Montrer que ( Γ’ ) passe par B’ et C’ .
4. Montrer que (DK) est médiatrice de [B’C’] . En déduire que K = h(H) puis que les points A, H et K sont
alignés.

Corrigé de cet exercice


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