Exercice 1 – Cercle et lieux de points
Il est vivement recommandé d’utiliser un logiciel de géométrie… 

1. Partie préliminaire :
on considère un triangle ABC, G son centre de gravité,
Ω le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.

Montrer que H est l’image de  Ω dans une homothétie de centre G dont on précisera le rapport.

2. On considère un cercle  Γ de centre O, de rayon R, passant par un point fixe A.
Soient B et C deux points de  Γ tels que la distance BC soit constante et égale à l.

a. Quel est le lieu géométrique des milieux I de [BC] ?

b. Quel est le lieu géométrique des centres de gravité G de ABC ?

c. Quel est le lieu géométrique des orthocentres H de ABC ?

3. Reprendre la partie 2. avec BC sur une droite  ∆ ne passant pas par A, A fixe.

Exercice 2 – Homothéties et droites parallèles
ABC est un triangle isocèle (AB = AC).
E et  F sont deux points du segment [BC].
Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement.
Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement.

1. Montrer que GH = IJ.

2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?

Exercice 3 – Pyramide à base triangulaire
La pyramide SABCD est à base rectangulaire.

On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB].

Déterminer l’intersection des plans (DIJ) et (SAC).

Exercice 4 – Etude d’un pavé droit
ABCDEFGH est un pavé droit.
On note I le milieu de l’arête [AB] et J le point tel que .

O est le centre de la face BCGF.

Démontrer que les droites (IH) et (JO) sont parallèles.

Exercice 5 – Etude d’une pyramide
SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre O.

G est le centre de gravité du triangle SBD et E est le milieu du segment [SC].

Démontrer que les points A, G et E sont alignés.

Exercice 6 – Points coplanaires
L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct  .

On considère les points :

A(1 ; 0 ; – 1) B( – 1 ; 0 ; 0) C(1 ; – 6 ; 4) D(4 ; – 9 ; 5) E(3 ; – 6 ; 3)

1.  Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

2. Montrer que le point D appartient à la droite (AE).

3.  Montrer que ABCE est un parallélogramme. Est-ce un rectangle ? Est-ce un carré ?

Exercice 7 – Points alignés
On donne A (1 ; – 2 ; 3), B (0 ; 4 ; 4) et C (4 ; – 20 ; 9).

Les points A, B et C sont-ils alignés ?

Exercice 8 – Nature d’un triangle
On donne A(1 ; 1 ; 3), 

Quelle est la nature du triangle ABC ?

Exercice 9 – Droites parallèles
On donne A( – 3 ; 1 ; 4), B( – 2 ; – 1 ; 7), C( – 4 ; – 1 ; – 2) et D(- 5 ;- 5 ; 4).

Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

Exercice 10 – Calculer les coordonnées d’un barycentre
On donne A(2 ; – 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( – 2 ; 1 ; 2) et D(  -1 ; – 2 ; 5).

1.  ABCD est-il un parallélogramme ? Un rectangle ?

2.  Calculer les coordonnées de l’isobarycentre du quadrilatère ABCD.

Exercice 11 :

Déterminer un vecteur normal à chacune des droites données par les équations cartésiennes

ci-dessous.

a) 2x+y – 3 = 0                          b) – 3x + 5y = 0

c) 5x – 3y + 2 =0                       d) – 2x – 4y + 1 =0

Exercice 12 :

déterminer un vecteur normal à chacune des droites définies par les deux points donnés.

a) B(- 3 ; 2)  et  C(1 ; – 2)                   b) F(1 ; 0)  et G( – 3 ; 4)

c) M(0; – 2)  et N(5 ; 4)                      d) H( – 2;3)  et K( – 1; – 5)

Exercice 13 :

Dans chacun des cas, déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point donné

et de vecteur normal donné.

a)   et  .

b)   et  .

c)   et  .

Exercice 14 :  

On considère la droite d d’équation cartésienne 3x + y – 4 = 0 et le point B(2; – 3).

1)Donner un vecteur normal à la droite d.

2)En déduire une équation de la droite perpendiculaire à d passant par B.

3)En déduire les coordonnées du point K, projeté orthogonal du point B sur la droite d donnée.

Exercice 15 :

Pour chacune des équations suivantes, retrouver dans le tableau quel est son centre et son rayon.

Exercice 16 : 

Dans chacun des cas suivants, déterminer le centre et le rayon du cercle si l’équation donnée

correspond bien à un cercle.

Exercice 17 :  

On considère les équations suivantes :

    et   .

1)Montrer que ces équations sont celles de deux cercles.

2)Pour chacun d’entre eux, donner son centre et son rayon.

3)Calculer la distance entre les deux centres.

4)Que peut-on en déduire sur la position des deux cercles ? Justifier.