Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés.

La dérivée d’une fonction et l’interprétation graphique du nombre dérivée à travers des exercices de maths en 1ère corrigés. L’élève devra être capable d’étudier l’a taux d’accroissement d’une fonction en un point et déterminer le nombre dérivé. Connaître toutes les formulés de dérivation afin d’étudier le sens de variation de la fonction et de tracer sa courbe. Savoir déterminer l’équation de la tangente en un point de la courbe représentative en première.

Exercice 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1. $f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1 .$

2. $f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2} .$

3. $f(x)=(\sqrt{x+1})\times (x^2-2) .$

4. $f(x)=(2x-\sqrt{x})\times (x+4) .$

5. $f(x)=\frac{1}{1-4x} .$

6. $f(x)=\frac{-3}{2x-1} .$

7. $f(x)=\frac{2x-1}{3x+2} .$

8. $f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3} .$

9. $f(x)=(5x^2+1)^2 .$

10. $f(x)=(-2x-1)^3 .$

11. $f(x)=\sqrt{3x-4}.$

12. $f(x)=2x\sqrt{-3x+2}.$

Exercice 2 :

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants :

1. f(x)= 3x²-x+1 avec a= -1.

2. $f(x)=\frac{2x-1}{x-2}$ avec a= 3.

3. $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$ avec a= 9.

Exercice 3 :

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$ par :

$f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x}$ .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?

3 Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation $y=- \frac{2}{3}x-5$ .

Exercice 4 – Equation de la tangente à une courbe représentative

Soit f la fonction définie sur R par $f(x) = x^4 -2x + 1$ .
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

Exercice 5 – Calculer une limite

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

$\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}$ .

Pour cela on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1+x)^{2005}$ .

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

Exercice 6 – Prix de revient et vitesse d’un camion

Un camion doit faire un trajet de 150 km.
Sa consommation de gasoil est de $6+\frac{v^2}{300}$ litres par heure, où $v$ désigne sa vitesse en $km/h$ .
Le prix du gasoil est de 0,9 € le litre et on paie le chauffeur 12 € par heure.

1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse $v$ .

2. Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

3. Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

Exercice 7 – Sommet d’une parabole

Soit (P) la parabole définie par la fonction $f(x) = x^2 - 3x + 1$ .
Calculer les coordonnées de son sommet S.

Exercice 8 – Etude d’un rectangle

On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à $\frac{3}{4}$ cm².

2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur l.

b. On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(2-x)$ .

Calculer la dérivée f’ de f puis étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c. En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Exercice 9 – Fonction numérique et racine

On considère la fonction f définie sur R par : $f(x) = x^3 - 3x - 3$ .
On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle [2 ; 3].

6. Donner une valeur approchée de $\alpha$ , par défaut, à $10^{-1}$ près.

Exercice 10 – Tableau de variation et équation

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : $f(x) = x^2 -3x + 2.$
2. Résoudre l’équation f(x) = 0.

Exercice 11 – Etude de deux fonctions et des tangentes

On considère la fonction définie par $f(x)=x^2-x-1$ .
On note (Cf ) sa courbe représentative.
On considère également la fonction g définie par g(x) = 3 – x.
On note (D) sa représentation graphique.

1. Calculer la dérivée f’ de f.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse $x_0=2$ .

3. Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

4. Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

Exercice 12 – Déterminer la dérivée de fonctions numériques

Dériver les fonctions suivantes :

$f(x)=4x^2-3x+1\\g(x)=(2x+3)(3x-7)\\h(x)=\frac{2x+4}{3x-1}\,pour\,x\neq\frac{1}{3}\\k(x)=(2x^2+3x+1)^2$

Exercice 13 – Dérivée de plusieurs fonctions

Dériver les fonctions suivantes :

$f(x)=x^2\\g(x)=3x^4-2x^3+5x-4\\h(x)=\sqrt{x}(1-\frac{1}{x})\\k(x)=\frac{x+5}{x^2+1}$

Exercice 14 – Valeur absolue et dérivabilité

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left | 2x+3 \right |$ .

Etudier la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 15 – Dérivée d’une fonction puissance

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u² est dérivable sur I et (u²)’=2uu’.

b) u³ est dérivable sur I et (u³)’=3u²u’.

Exercice 16 – Sens de variation

On considère la fonction f définie par $f(x)=x(1-x)$ sur $\mathbb{R}$ .

1. Démontrer que $f(x)\leq \frac{1}{4}$ pour tout x appartenant à $\mathbb{R}$ .

2. En déduire que la fonction f admet un maximum en $x=\frac{1}{2}$ .

3. Démontrer que $f(x)=\frac{1}{4}-\left ( x-\frac{1}{2} \right )^2$ .

4. En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et décroissante sur $]\frac{1}{2};+\infty[$ .

Exercice 17

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+6x+5$

1. Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de $f$ et la droite $D$ d’équation $y=\frac{1}{2}x-2$ .

Exercice 18

Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction f définie par $f(x)=3x-4x^3$ .

Exercice 19

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}$ .

1. Etudier les variations de f sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de $f$ au point A.

Exercice 20

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}$ .

Exercice 21 – Courbe représentative, dérivée et tangente

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{4}x^4 -2x^2 + 3$

On appelle $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal.

1) a) Etudier la parité de $f$ . Que peut-on en déduire pour $C_f$ ?

b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de $f$ et en déduire le tableau de variation de $f$

2) a) Déterminer une équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse 1.

b) Cette tangente recoupe $C_f$ en deux autres points.

b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :

$x^4-8x^2 + 12x -5 = 0$

b.2) Vérifiez que l’on a :

$x^4 -8x^2 + 12x -5 = (x - 1)^2(x^2 + 2x - 5)$

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Exercice 22 – Parabole et tangentes

Soit (P) la parabole d’équation $y=x^2-3x+\frac{5}{4}$

et (H) l’hyperbole d’équation $y=\frac{3(3x+5)}{4(x+3)}$ .

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

Rappel : Dans un r.o.n deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Exercice 23 – Tangente et déterminer un réel

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation $y = (m - 1) x^2 + ( 3m + 2) x + 4$

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Exercice 24 – Déterminer l’abscisse d’une tangente

Soit la fonction $f:x \mapsto \frac{-x^2 +2x-1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :

1) est horizontale

2) est parallèle à la droite d’équation $y=-\frac{2}{3}x-5$ .

Exercice 25 – Retrouver l’expression d’une fonction carrée

Une parabole $(P)$ admet dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ une équation du type :

$y=ax^2+bx+c\,(a\neq0)$
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que $(P)$ coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de $(P)$ avec (Ox).

Exercice 26 – Nombre dérivée et tangente à une courbe

Dans chaque cas détermine $f'(a)$ et donner une équation de la tangente T.

Exercice 27 – Equation de tangente à une parabole
On considère la fonction f définie par :
$f(x) = ax^2 + bx + c$

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1. Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

2. Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.

Exercice 28 – Limite en l’infini et tableau de variation
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ .

1. Calculer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$ .

2. Calculer la dérivée f » de f et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Exercice 29 – Lecture graphique
Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :

f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).

2. Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

Exercice 30 – Calcul d’une dérivée et tableau de variation
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x$ .

1. Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Exercice 31 – Lecture graphique du nombre dérivé

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(1-\frac{x}{2})^4$ ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse $x_0=4$ .

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

Exercice 32 – Dérivabilité en un point

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac{1}{x}+2$ .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

Exercice 33 – Calcul de dérivée et du nombre dérivé

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

$f(x)=\frac{x}{x+\sqrt{x}}\,sur\,]0;+\infty[$

$g(x)=(\frac{1}{1+x})^3\,sur\,\mathbb{R}-\{-1}$

2. Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

Exercice 34 – Sens de variation et encadrement
1. Etudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x(1-x)$ .

2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

Exercice 35 – Etude d’une fonction numérique
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=x-2+\frac{4}{x}$ .

1. Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur $[-4 ; 0[\cup ]0 ; 4]$ .

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